13 k

Ответ от Ѐэдрик Шухарт[гуру]
Для решения уравнения n! + 5n + 13 = k^2 в натуральных числах проанализируем последнюю цифру суммы.
При n >= 5 факториал n! делится на 10 и оканчивается на 0. Слагаемое 5n оканчивается на 0 или 5. Значит, сумма n! + 5n оканчивается на 0 или 5, а выражение n! + 5n + 13 будет оканчиваться на 3 или 8.
Квадрат целого числа k^2 может оканчиваться только на 0, 1, 4, 5, 6 или 9, но не на 3 или 8. Следовательно, при n >= 5 решений нет.
Проверим оставшиеся натуральные числа:
n = 1: 1 + 5 + 13 = 19 (не квадрат)
n = 2: 2 + 10 + 13 = 25 = 5^2, отсюда k = 5
n = 3: 6 + 15 + 13 = 34 (не квадрат)
n = 4: 24 + 20 + 13 = 57 (не квадрат)
Единственное решение в натуральных числах: n = 2, k = 5.