момент инерции сферы

Ответ от JoKa Fern Lowd[гуру]
выводится интегрированием
разбиваем сферу на бесконечно тонкие коаксиальные цилиндрические слои
если радиус сферы R, а радиус цилиндрического слоя r,
то его высота равна h=2*корень (R^2-r^2)
если при этом толщина слоя равна dr, то его объем равен
dV=2 пи r h dr
масса слоя равна dm = m/(4/3 пи R^3) dV
момент инерции слоя относительно оси равен dI = dm r^2
сводя все выражения в одно получим
dI = 3m/(R^3) r^3 корень (R^2-r^2) dr
вот это выражение надо проинтегрировать по r от 0 до R
интегрируется с помощью замены
корень (R^2-r^2)=t, r^2 = R^2 - t^2, r^4 = R^4 + t^4 - 2 R^2 t^2
r^3 dr = 1/4 d(r^4) = 1/4 d(R^4 + t^4 - 2 R^2 t^2) = (t^3-R^2 t) dt
тогда
dI = 3m/(R^3) (t^4-R^2 t^2) dt и интеграл берется по t от R до 0
то есть I = 3m/(R^3) (-R^5 / 5 + R^2 R^3 / 3) = 2/5 m R^2