Автор Александра<=>Сашенька задал вопрос в разделе Домашние задания
х^18 - x^13 + x^10 - x^7 + x^3 - x + 1 > 0 (Х^ - степень)? и получил лучший ответ
Ответ от Mihail-Nor[гуру]
Превратим неравенство в равенство и попробуем решить уравнение восемнадцатой степени. Для этого разобьём всю числовую ось на 4 условных промежутка, в каждом из которых очень легко доказать, что левая часть неравенства положительна. Вот эти промежутки:
1) промежуток x <= (меньше либо равно) -1. В нём х^18 - x^13 + x^10 - x^7 + x^3 - x + 1 > 0, так как слагаемое - x^13 + x^10 - x^7 - x + 1>0 (это можно увидеть лишь из того, что все х на промежутке отрицательные - при подстановке отрицательного числа в это выражение каждое слагаемое будет очевидно положительным). А оставшиеся слагаемые x^18+x^3 больше либо равно нуля, так как x^18+x^3=x^3(x^15+1), то есть произведение двух явно неположительных чисел.
2) промежуток (-1;0]. В нём х^18 - x^13 + x^10 - x^7 + x^3 - x + 1 > 0, так как слагаемое х^18 - x^13 + x^10 - x^7 + 1 > 0 (это видно при подстановке отрицательных чисел - все слагаемые положительны). А оставшиеся слагаемые x^3 - x больше либо равно нуля так как x^3 - x=x(x-1)(x+1), то есть произведение двух явно неположительных чисел на положительные.
3) промежуток (0;1]. Аналогично, рассматриваем отдельно слагаемые, выделенные скобками, каждое из которых неотрицательно, а некоторые положительны: (х^18) + (x^10 - x^13)+( x^3- x^7)+(1- x) .
4) последний промежуток x>1. Аналогично, рассматриваем отдельно слагаемые, выделенные скобками: (х^18 - x^13) + (x^10 - x^7) + (x^3 - x) + 1.
Таким образом, мы получили, что всюду это уравнение принимает только положительные значения. Значит, оно не имеет корней. Но нам важно то, что неравенство х^18 - x^13 + x^10 - x^7 + x^3 - x + 1 > 0 выполняется при этом при любом x.