Автор Диана Миронович задал вопрос в разделе ВУЗы, Колледжи
помогите найти частное решение дифференциального уравнения y'sinx=ylny, y(пи/2)=e, e=2,718 и получил лучший ответ
Ответ от Scholes[гуру]
Это ДУ с разделяющимися переменными, соответственно разделяем их:
dy/(ylny)=dx/sinx
Интегрируем обе его части.
интеграл от dy/(ylny)=интеграл от d(lny)/lny=ln|lny|
интеграл от dx/sinx=интеграл от sinxdx/sin^2x=интеграл от -d(cosx)/(1-cos^2(x))=|cosx=t|=интеграл от -dt/[(1-t)(1+t)]=интеграл от -(1/2)*[1/(1-t)+1/(1+t)]dt=-(1/2)*[-ln|1-t|+ln|1+t|]=ln[(1+t)/(1-t)]^(-1/2)]
Таким образом:
ln(lny)=ln[C*[(1+cosx)/(1-cosx)]^(-1/2)]=>lny=C*[(1+cosx)/(1-cosx)]^(-1/2)=>y=exp[C*[(1+cosx)/(1-cosx)]^(-1/2)]
y(pi/2)=e=>C=1
=>y=exp[[(1+cosx)/(1-cosx)]^(-1/2)] - решение задачи Коши
как посчитать неопределённый интеграл. dx/sin(x) и если можно ещё один dy/y*ln(y)
Первый интеграл ∫dx/sinx=∫(sinxdx)/(sinx) ²=∫d(cosx)/(1-cos²x)=