4sin 2x 4cosx 1 0

Ответ от Rudm[гуру]
4sin^2(X)-4cos(X)-1=0
Представим sin^2x как 1 - cos^2x (Согласно основному тригонометрическому тождеству sin^2x+cos^2x=1)
Получим
4*(1-cos^2x) - 4cosx - 1 = 0
раскроем скобки
4 - 4cos^2x - 4cosx - 1 = 0
Приведем подобные (Сложим -1 и 4)
Получим
-4 cos^2x - 4 cosx + 3 = 0
Просто для удобства умножим все члены уравнения на -1 (Что бы избавится от большего числа минусов)
Получим
4cos^2x + 4cosx - 3 = 0
Заменим cosx на t
Получим
4t^2 + 4t - 3 = 0
Это квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0.
Решается по формуле D = b^2 - 4ac
Получим
D = 4^2 - 4*4*(-3) = 64
У квадратного уравнения два корня, они находятся по формуле
x1, x2 = (-b +- sqrt(D))/2a (sqrt(D) - корень квадратный из D)
Тогда, в нашем случае
t1 = (-4 - sqrt(64))/8 = -3/2 Не подходит, так как sin x не может быть больше 1 или меньше -1
t2 = (-4 + sqrt(64))/8 = 1/2 Подходит, так как 1/2 < 1
Помним что мы заменили cosx на t
Делаем обратную замену
cosx = 1/2
Зная формулу
cosx = a
x = +-arccos(a) + 2Pi*k
В нашем случае
cosx = 1/2
x = +- arccos(1/2) + 2Pi*k
Смотрим по таблице, arccos(1/2) = Pi/3 (В нашем случае это тоже самое что и cos 1/2, то есть Pi/3)
Ответ x = +- Pi/3 +2Pi*k
Проверим, подставив Pi/3 в исходное уравнение
4sin^2(Pi/3) - 4cos(Pi/3) -1 = 0
Найдем по таблице синусов и косинусов что sin (Pi/3) = sqrt(3)/2 а cos(Pi/3) = 1/2
4*sqrt(3)^2 - 4*cos(1/2) - 1 = 0
4 * 3/4 - 4* 1/2 -1 = 0
12/4 - 4/2 -1 = 0
3 - 2 -1 = 0
Верно.
Теперь вы сможете самостоятельно решать такие уравнения Таблицу синусов и косинусов можно найти в гугле. Ссылку на более подробное объяснение прикрепляю в строке "Источник"
Источник: http://www.bymath.net/studyguide/tri/sec/tri16.htm