abc гипотеза

Ответ от ? ? ? Звездочка Ясная Я? ? ?[гуру]
ABC-гипотеза
Гипотеза, о которой идет речь, появилась в работах Дэвида Уильяма Массера и Джозефа Эстерле в 1985 и 1988 годах соответственно. Эстреле и Массер пытались сформулировать аналог утверждения, известного как теорема Мейсона-Стотерса. Эта теорема связана с многочленами от одной переменной и, вообще говоря, не является слишком уж сложным утверждением - в университетском курсе алгебры она фигурирует обычно в виде набора упражнений.
Кадр из мультсериала "Симпсоны"
Для того чтобы сформулировать гипотезу Эстреле-Массера, потребуется понятие радикала. Радикалом числа rad(N) называется произведение всех простых множителей этого числа. Из основной теоремы арифметики вытекает, что это в точности простые множители, участвующие в разложении числа. Например rad(24) =2*3 = 6 (пример разложения 24 на простые множители см. выше). У этого числа есть несколько очевидных свойств. Например, если a и b взаимно просты, то есть не имеют общих делителей, отличных от единицы, то rad(ab) = rad(a) rad(b). Кроме этого, равенство rad(a) = a выполняется тогда и только тогда, когда a - произведение попарно различных простых чисел. В общем, видно, что радикал представляет собой удобный инструмент для изучения произведения натуральных чисел.
Рассмотрим теперь тройки чисел (a, b, c), для которых a + b = c и все три числа взаимно просты (в данном случае не важно, попарно или в совокупности - из-за равенства это одно и то же). Эстреле и Массера интересовал радикал произведения таких трех чисел, то есть rad(abc) который по свойствам операции равен rad(a) rad(b) rad(c). Математики задали вот такой, на первый взгляд не очень понятно зачем нужный вопрос: какое из чисел c и rad(abc) больше? Оказывается, однозначного ответа на этот вопрос нет. Например, возьмем тройку (2, 3, 5). Для нее 5 < rad(2*3*5) = 2*3*5 = 30. В свою очередь для тройки (1, 8, 9) выполнено, что 9 > rad(8*9) = rad(23*3 2) = 2*3 = 6.
Вместе с тем, дальнейшие исследования позволили установить, что троек первого типа в некотором смысле больше: если взять случайную тройку с условиями взаимной простоты и a + b = c, то почти всегда будет выполняться именно первое неравенство. Поэтому тройки, для которых c > rad(abc) получили название исключительных. Численный эксперимент показывает, что среди всех подходящих троек, у которых c< 50000, исключительных всего 276. Поэтому следующим естественным вопросом является такой: конечно ли число исключительных троек? Ответ и на этот вопрос оказался неутешительным для Эстреле и Массера: нет, таких троек бесконечно много. Более того, можно предъявить такую серию троек, что отношение rad(abc)/c будет сколь угодно малым. Фактически, это означает отсутствие какой либо линейной оценки на значение радикала.
Раз нет линейной оценки, то можно попробовать найти какую-нибудь экспоненциальную. И тут математикам повезло - так и появилась ABC-гипотеза. В одной из своих формулировок она звучит так: для любого действительного числа r > 1 существует не более конечного числа троек натуральных чисел (a, b, c) таких, что для них выполнены одновременно три условия: a + b = c; a, b и c взаимно просты и c > rad (abc)r.
ВИДЕО: http://video.yandex.ru/users/fizmatlib/view/1#
Японский математик доказал АВС-гипотезу... http://habrahabr.ru/post/151372/
http://mindspring.narod.ru/math/ega/Lang/HypotABC.htm
http://lenta.ru/articles/2012/09/13/abc/
http://ru.wikipedia.org/wiki/Abc-гипотеза.