теорема и аксиома
Автор Любовь Захарова задал вопрос в разделе Домашние задания
Чем отличается теорема от аксиомы? Аксиома доказывается как в плюс так и в минус? и получил лучший ответ
Ответ от Максим Ю. Волков[гуру]
Теорема (др. -греч. θεώρημα — «зрелище, вид; взгляд; представление, положение» ) — утверждение, для которого в рассматриваемой теории существует доказательство (иначе говоря, вывод) . В отличие от теорем, аксиомами называются утверждения, которые, в рамках конкретной теории, принимаются истинными без всяких доказательств или обоснований.
В математических текстах теоремами обычно называют только достаточно важные утверждения. При этом требуемые доказательства обычно кем-либо найдены (исключение составляют в основном работы по логике, в которых изучается само понятие доказательства, а потому в некоторых случаях теоремами называют даже неопределённые утверждения) . Менее важные утверждения-теоремы обычно называют леммами, предложениями, следствиями, условиями и прочими подобными терминами. Утверждения, о которых неизвестно, являются ли они теоремами, обычно называют гипотезами.
Аксиома (др. -греч. ἀξίωμα — утверждение, положение) — утверждение, в определённых рамках (теории, концепции, дисциплины) принимаемое истинным без доказательств, которое в последующем служит «фундаментом» для построения доказательств.
Аксиоматизация теории — явное указание конечного или счётного, рекурсивно перечислимого (как, например, в аксиоматике Пеано) набора аксиом и правил вывода. После того как даны названия изучаемым объектам и их основным отношениям, а также аксиомы, которым эти отношения должны подчиняться, всё дальнейшее изложение должно основываться исключительно лишь на этих аксиомах, не опираясь на обычное конкретное значение этих объектов и их отношений. Утверждения на основе аксиом называются теоремами. С формальной точки зрения, сами аксиомы также входят в число теорем.
Примеры различных, но равносильных наборов аксиом можно встретить в математической логике и Евклидовой геометрии.
Набор аксиом называется непротиворечивым, если из аксиом набора, пользуясь правилами логики, нельзя прийти к противоречию, то есть доказать одновременно и некое утверждение и его отрицание. Аксиомы являются своего рода «точками отсчёта» (фактами) для построения любой науки, при этом сами они не доказываются, а выводятся непосредственно из эмпирического наблюдения.
аксиома не доказывается, теорема имеет доказательство
Аксиому не нужно доказывать в отличие от теоремы...
Аксиома не требует доказательства.
Аксио́ма (др. -греч. ἀξίωμα — утверждение, положение) — утверждение, в определённых рамках (теории, концепции, дисциплины) принимаемое истинным без доказательств, которое в последующем служит «фундаментом» для построения доказательств.
Аксиома – это предложение, принимаемое без доказательства, в силу непосредственной его убедительности (для его доказательства нет исходного материала) , но проверенное многочисленными экспериментами, опытами, временем, и поэтому является неоспоримой истиной, не требующей доказательств.
Теорема, в отличие от аксиомы, это - предложение, истинность которого нуждается в доказательстве и устанавливается путем логических умозаключений (т. е. доказательства) .
набор аксиом - это некоторая база, набор постулатов, которые воспринимаются на веру и ни у кого не вызывают сомнений, первые теоремы доказываются сведением к одной или нескольким аксиомам, дальнейшие теоремы доказываются с опорой на ранее доказанные
Совершенно верно!
Аксиома доказывается и в плюс, и в минус, и в п... ду, и в Красную Армию, и вообще во всё, что только можно придумать.