bases

Ответ от Ѕару[гуру]
Базис - это и есть множество векторов в векторном пространстве. Только не любое множество векторов может быть базисом. В базисе не должно быть таких векторов, которые можно выразить через другие вектора базиса. Причем, в базисе должно быть достаточно векторов для того, что бы через них выразить любой вектор пространства.
Мой совет. В математике нужно включать воображение.

Ответ от Ёергей Гаврилов[гуру]
Мне нравится, что мы с тобой прямо сразу на "ты". Здесь виден намек на нечто большее.
Любое пространство это множество элементов (только упорядоченных определенным образом) . Векторное пространство упорядочено алгебраически (это значит, что в нем заданы операции сложения и умножения на число) . Его элементы можно назвать векторами. А можно и не называть.
Пусть в этом пространстве заданы некоторые особые векторы. Такие, что любой вообще вектор может быть записан линейной комбинацией этих особых. "Базис" это другое название для системы этих особых векторов.
К примеру, на плоскости любые два геометрических вектора (если только они не параллельны) образуют базис. Любой третий вектор может быть образован из этих двух, их только нужно умножить на подходящие коэффициенты и сложить по правилу параллелограмма. Эти коэффициенты будут "координатами" вектора в данном базисе.

Ответ от Иван Федоров[гуру]
Да куда уж проще-то, чем "множество векторов"? Что такое множество знаете? - Конкретный набор каких-то объектов. Задать множество можно массой способов: иногда просто перечисляют объекты, как в случае базиса или алфавита, иногда указывают какое-то общее свойство и считают, что в данное множество входят все объекты с указанным свойством (их может быть и бесконечное число, и несчётное).. .
Базис - это такой набор векторов, из которого линейной комбинацией (умножением на число и сложением друг с другом) можно получить любой другой вектор пространства.
Если по порядку, то.. .
Надеюсь, с понятием сложения векторов проблем нет. Умножение на число даёт нам просто изменение длины (модуля) вектора - подобрав соответствующий множитель можем сделать вектор любой длины .
Если два вектора имеют разное направление, можно получить один из другого только лишь умножением на число? - Нельзя, т. к. при умножении меняется только длина. Такие векторы называются линейно независимыми.
Очевидно, что любой вектор можно представить суммой нескольких других векторов. Рассмотрите простой пример - векторы на плоскости. Из одного вектора, домноженного на какое-то число, можно получить любой другой вектор плоскости? Очевидно, что нет. Так мы сможем получить лишь векторы, имеющие то же или противоположное направление. А суммой двух векторов (имеющих разное направление) уже можно представить любой вектор плоскости. Достаточно лишь пририсовать наши вектора к заданному (к началу - начало одного вектора, к концу - конец другого) и "отрегулировать" множителями их длину в нужном направлении так, чтобы замкнулся треугольник. Это означает, что пространство векторов в плоскости - двумерное.
Итак мы получили, что если на плоскости взять два ненулевых вектора с разными направлениями, то их суммой с какими-то множителями можно получить любой вектор.
Вот эти два вектора и есть базис. А множители, которыми подбираем их длину, чтобы получить заданный вектор, - это координаты заданного вектора в этом базисе.
Дальше. Можем мы этими двумя векторами плоскости представить любой вектор трёхмерного пространства? Нет: вектор, не лежащий в плоскости, как ни крути, суммой этих двух векторов не получить. Нужно добавить третий, не лежащий в плоскости. С помощью этих трех векторов уже можно получить любой пространственный вектор.
То, что третий вектор не лежит в плоскости первых двух и потому не может быть записан, как их сумма, называется линейной независимостью.
Аналогично можно рассуждать и дальше, добавляя новые измерения. Таким образом базисом N-мерного пространства могут быть любые N векторов, нужно только чтобы они все были линейно независимыми. Потому что добавление к двумерному базису третьего вектора, лежащего в той же плоскости, не выведет нас из плоскости в пространство и потому не сделает эти три вектора базисом трехмерного пространства.
Базис может обладать дополнительными свойствами.
Если у нас определены единицы длины, то базисные векторы можно взять равными по длине 1. Такой базис называется нормированным.
Если все вектора базиса ортогональны, т. е. перпендикулярны друг другу (другими словами их попарные скалярные произведения равны 0), то такой базис называется ортогональным
Базис, одновременно являющийся и ортогональным, и нормированным, называется ортонормированным, а его базисные вектора - ортами.
Что касается векторного пространства, то его точки не обязательно геометрические "палки со стрелками". N-мерный вектор - это любой объект, который можно представить N числами - его координатами в каком-то базисе, и для которого имеют смысл операции векторного сложения и умножения на число. Т. е. формально можно сначала указать N каких-то независимых объектов и объявить их базисом, а потом уже получить всё векторное пространство, как все возможные линейные комбинации элементов базиса. В таком случае говорят, что векторное пространство натянуто на указанный базис.

Ответ от 3 ответа[гуру]

Ответ от 3 ответа[гуру]