бесконечная геометрическая прогрессия и ее сумма

Ответ от Алексей Ретунский[гуру]
Геометрическая прогрессия.
Геометрическая прогрессия — последовательность чисел b1, b2, b3,.. (членов прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число q (знаменатель прогрессии), где b1≠0, q≠0.
b1, b2=b1q, b3=b2q, ..bn=bn-1q...
где q знаменатель геометрической прогрессии (шаг),
b1, b2, b3, ..bn,.. -члены геометрической прогрессии
n-й член геометрической прогрессии bn определяется по формуле:
bn=b1qn-1
Если b1 > 0 и q > 1, прогрессия является возрастающей последовательностью,
если 0 < q < 1, — убывающей последовательностью,
а при q < 0 — знакопеременной.
Формулы суммы первых n членов геометрической прогрессии:
Сумма первых n членов геометрической прогрессии., что верно при q < 1
или
Сумма первых n членов геометрической прогрессии., что верно при q > 1
Сумма бесконечной геометрической прогрессии:
Если знаменатель геометрической прогрессии q < 1, то сумму первых n членов геометрической прогрессии (см. выше) можно записать как
Сумма n членов геометрической прогрессии..
Поскольку q < 1, при увеличении n, q уменьшится.
Сумма n членов геометрической прогрессии..
Величина [b1/(1-q) ] называется суммой бесконечной геометрической прогрессии S∞, она ограничивает значение суммы бесконечного количества членов прогрессии, т. е.
Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии имеет вид
Сумма бесконечной геометрической прогрессии., что верно при -1 < q < 1
Говорят, что бесконечная геометрическая прогрессия сходится, если предел lim Snпри n→∞ существует и конечен.
В противном случае прогрессия расходится.