бета распределение

Ответ от Ђара Мирошниченко[гуру]
Бе́та распределе́ние в теории вероятностей и статистике — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений.
Содержание [убрать]
1 Определение
2 Форма графика
3 Моменты
4 Связь с другими распределениями
[править] Определение
Пусть распределение случайной величины X задаётся плотностью вероятности fX, имеющей вид:
,
где
α,β > 0 произвольные фиксированные параметры, и
— бета-функция.
Тогда случайная величина X имеет бета-распределение. Пишут: X˜B(α,β).
[править] Форма графика
Форма графика плотности вероятности бета-распределения зависит от выбора параметров α и β.
— график выпуклый и уходит в бесконечность на границах (красная кривая) ;
или — график строго убывающий (синяя кривая)
— график строго выпуклый;
— график является прямой линией;
— график строго вогнутый;
график совпадает с графиком плотности стандартного непрерывного равномерного распределения;
или — график строго возрастающий (зелёная кривая) ;
— график строго выпуклый;
— график является прямой линией;
— график строго вогнутый;
— график унимодальный (пурпурная и чёрная кривые)
В случае, когда α = β, плотность вероятности симметрична относительно 1 / 2 (красная и пурпурная кривые) , то есть
.
[править] Моменты
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X, имеющей бета-распределение, имеют вид:
,
.
[править] Связь с другими распределениями
Стандартное непрерывное равномерное распределение является частным случаем бета-распределения:
.
Если X,Y — независимые гамма распределённые случайные величины, причём X˜Γ(α,1), а Y˜Γ(β,1), то
.
Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли биномиальное геометрическое гипергеометрическое логарифмическое отрицательное биномиальное Пуассона равномерное мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета Вейбулла Гамма Колмогорова Коши Лапласа логнормальное Лоренца нормальное (Гаусса) равномерное Парето Стьюдента Фишера хи-квадрат экспоненциальное Эрланга многомерное нормальное
править
Источник — «»
Параметры α > 0
β > 0
Носитель
Плотность вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание
Медиана
Мода для α > 1,β > 1
Дисперсия
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
Информационная энтропия
Производящая функция моментов
Характеристическая функция

Источник: ссылка