cospix 1

Ответ от Alexander Alenitsyn[гуру]
Для удобства сделаем замены.
1) t=3x-1, t-->0. lim=lim (arctg t-t)/sin t=lim (arctg t-t)' / (sin t)' =lim (1/(1+t^2) - 1)/cos t=0. Применили правило Лпиталя.
2) z=(1+ln^2(x))^(1/3), z-1=(z^3-1)/(z^2+z+1)=ln^2(x) / (z^2+z+1); так как z-->1, то z^2+z+1-->3, и эту 3 выносим за предел.
t=x-1, t-->0, lim=3 lim ln^2(1+t) / (1-cos t)=3 lim 2[ ln(1+t)/(1+t)] /sin t=6 lim ln(1+t) / t =6. Применили правило Лоиталя и известные пределы с логарифмом и синусом. Всё же для удобства сделаем замены.
1) t=3x-1, t-->0. lim=lim (arctg t-t)/sin t=lim (arctg t-t)' / (sin t)' =lim (1/(1+t^2) - 1)/cos t=0. Применили правило Лпиталя.
2) z=(1+ln^2(x))^(1/3), z-1=(z^3-1)/(z^2+z+1)=ln^2(x) / (z^2+z+1); так как z-->1, то z^2+z+1-->3, и эту 3 выносим за предел.
t=x-1, t-->0, lim=3 lim ln^2(1+t) / (1-cos t)=3 lim 2[ ln(1+t)/(1+t)] /sin t=6 lim ln(1+t) / t =6. Применили правило Лоиталя и известные пределы с логарифмом и синусом.