Автор Босс задал вопрос в разделе Домашние задания
Помогите с решением! y`` - 6y` + 13y = 0 , если у = 1 и y` = 5 , при х = 0 и получил лучший ответ
Ответ от Наташа (nu-i-nu)[новичек]
Онлайн-калькулятор решил, я это давно забыла, проверьте, пожалуйста, нет ли ошибок!
Решение линейных дифференциальных уравнений.
Решение дифференциальных уравнений
Подробное решение.
Программа действую по четко отлаженному механизму, который описан во многих учебниках. Сначало необходимо составить харакеристическое уравнение (в данном случае решается уравнение второй степени, так что и характеристическое уравнение будет второй степени. Т. е. необходимо решить квадратное уравнение) a*y'' + b*y' + c*y = 0 → a*x 2 + b*x + c = 0. Находятся 2 корня данного характеристического уравнения, затем возможно 3 случая !
Случай № 1: Характеристическое уравнение имеет 2 разных и вещественных корня - k1 и k2,
тогда решение имеет вид: y = C1ek1x + C2ek2x
Случай № 2: Характеристическое уравнение имеет 2 одинаковых и вещественных корня - k1 = k2,
тогда решение имеет вид: y = C1ek1x + C2xek2x
Случай № 3: Характеристическое уравнение имеет 2 разных и комплексных корня -
k1 = a + ib и k2 = a - ib,
тогда решение имеет вид: y = eax * ( C1Cos(bx) + C2Sin(bx))
Решим Ваше дифференциальное уравнение.
--
Условие
Вы ввели дифференциальное уравнений:
y'' - 6 y' + 13 y = 0
Следовательно характеристическое уравнение имеет вид:
x 2 - 6 x + 13 = 0
Дискриминат D равен:
D = b 2 - 4 × a × c = (-6) 2 - 4 × (1) × (13) = -16
Дискриминант меньше нуля (D < 0) => Характеристическое уравнение имеет 2 разных и комплексных корня.
Следовательно решение имеет вид: y = eax * ( C1Cos(bx) + C2Sin(bx))
√D = 4
k 1 = -b + i × √D = 6 + i × 4 = 3 + i × 2
2a 2 × (1)
k 2 = -b - i × √D = 6 - i × 4 = 3 - i × 2
2a 2 × (1)
y = eax * ( C1Cos(bx) + C2Sin(bx))
Подставляем найденные корни характерисического уравнения:
y = e (3) x * ( C1Cos ( 2 x) + C2Sin ( 2 x))
Ответ
y = e (3) x * ( C1Cos ( 2 x) + C2Sin ( 2 x))
Источник: