формула гюйгенса
Автор Fedor Bogdanov задал вопрос в разделе Естественные науки
Как определить радиус по длине дуги и хорды? и получил лучший ответ
Ответ от Александр амелькин[гуру]
Трудновато. Видел где-то я формулу, но приближенную. Там по радиусу и длине дуги отыскивается хорда.
Ответ от Matod[гуру]
Мда, че-то школьную задачку с ходу "не осилил" 🙂
Там есть формула дуги: L = a*R. где а - центральный угол, образующий дугу.
Теперь смотрим треугольник, образованный центром, концом дуги и серединой хорды. Прямоугольный, гипотенуза = R. катет I/2, противолежащий угол a/2.
Для удобства я взял не угол а, а угол b = a/2 тогд система будет такой:
L = 2bR
I = 2Rsin(b)
После подстановки 2R, выраженного из первого уравнения во второе, получим sin(b) / b = I/L
Дальше чего-то затупил, как это уравнение решить. Возможно, надо записать так sin(b) = (I/L) * b Слева - синусоида, справа - прямая, проходящая через начало координат с известным углом наклона. Теперь надо найти точку пересечения. ..Ну, хотя бы графически...
может поможет :))
PS найдем угол b значит будем знать угол а (в радианах) , значт найдем R = L/a
Мда, че-то школьную задачку с ходу "не осилил" 🙂
Там есть формула дуги: L = a*R. где а - центральный угол, образующий дугу.
Теперь смотрим треугольник, образованный центром, концом дуги и серединой хорды. Прямоугольный, гипотенуза = R. катет I/2, противолежащий угол a/2.
Для удобства я взял не угол а, а угол b = a/2 тогд система будет такой:
L = 2bR
I = 2Rsin(b)
После подстановки 2R, выраженного из первого уравнения во второе, получим sin(b) / b = I/L
Дальше чего-то затупил, как это уравнение решить. Возможно, надо записать так sin(b) = (I/L) * b Слева - синусоида, справа - прямая, проходящая через начало координат с известным углом наклона. Теперь надо найти точку пересечения. ..Ну, хотя бы графически...
может поможет :))
PS найдем угол b значит будем знать угол а (в радианах) , значт найдем R = L/a
Ответ от Владимир Ерёмин[гуру]
Это задача Архимеда ( по-моему так и называется )
В этих формулах а - половина хорды ; L- " стрела дуги " т. е. расстояние от края до середины ; H - высота сегмента :
R =(a^2+H^2)/2H ; P =2L+2/3 (L -a )/Удачи !!!
Это задача Архимеда ( по-моему так и называется )
В этих формулах а - половина хорды ; L- " стрела дуги " т. е. расстояние от края до середины ; H - высота сегмента :
R =(a^2+H^2)/2H ; P =2L+2/3 (L -a )/Удачи !!!
Ответ от Михаил Ермилов[гуру]
У matod всё верно. Зря только он искал школьного способа решения полученного уравнения - его нет, такое решается только численно (графически).
У matod всё верно. Зря только он искал школьного способа решения полученного уравнения - его нет, такое решается только численно (графически).
Ответ от Вероятно, справа - ты[гуру]
В общем случае решается только приближённо
L= pi*R * (a/180град) = R * (a) (в радианах)
l^2/4 = (2R-h)h => l^2 = 4*(2R-h)h
1/2 R^2*sina = 1/2 l(R-h) => R-h=R^2*sina/l
итого
4*(R + (R^2*sina/l) )(R- (R^2*sina/l)) = l^2
(1 + (R*sina/l) )(1- (R*sina/l)) = l^2/(4*R^2)
1- (R*sina/l)^2 = l^2/(4*R^2)
1- (R*sin(L/R)/l)^2 = l^2/(4*R^2)
Итого мы получили функцию одной переменной вида
1- (x*sin(L/x)/l)^2 = l^2/(4*x^2)
Дальше только с помощью приближённых методов
Вот решение этого уравнения
при L=4 l=3
Можно, например, разложить функцию 1- (x*sin(L/x)/l)^2 - l^2/(4*x^2) в ряд
(пример разложения при L=4 l=3 ), взять ограниченное количество членов, приравнять их к нулю и искать приближённое решение
Причём взяв разложение до x^8, можно найти точную относительно разложения формулу в радикалах, но она будет такой гигантской, что страшно даже представить.
Вот такой (опять же при 4 и 3)
для первого корня и вот такой для второго
В общем случае решается только приближённо
L= pi*R * (a/180град) = R * (a) (в радианах)
l^2/4 = (2R-h)h => l^2 = 4*(2R-h)h
1/2 R^2*sina = 1/2 l(R-h) => R-h=R^2*sina/l
итого
4*(R + (R^2*sina/l) )(R- (R^2*sina/l)) = l^2
(1 + (R*sina/l) )(1- (R*sina/l)) = l^2/(4*R^2)
1- (R*sina/l)^2 = l^2/(4*R^2)
1- (R*sin(L/R)/l)^2 = l^2/(4*R^2)
Итого мы получили функцию одной переменной вида
1- (x*sin(L/x)/l)^2 = l^2/(4*x^2)
Дальше только с помощью приближённых методов
Вот решение этого уравнения
при L=4 l=3
Можно, например, разложить функцию 1- (x*sin(L/x)/l)^2 - l^2/(4*x^2) в ряд
(пример разложения при L=4 l=3 ), взять ограниченное количество членов, приравнять их к нулю и искать приближённое решениеПричём взяв разложение до x^8, можно найти точную относительно разложения формулу в радикалах, но она будет такой гигантской, что страшно даже представить.
Вот такой (опять же при 4 и 3)
для первого корня и вот такой для второго
Ответ от 3 ответа[гуру]
Привет! Вот подборка тем с похожими вопросами и ответами на Ваш вопрос: Как определить радиус по длине дуги и хорды?