e arctgx

Ответ от Константин[гуру]
1) функция 1/(1+x^2) является производной от арктангенса. Поэтому можно написать тождество dx/(1+x^2) = d(arctgx). Тогда Вы имеете интеграл
int { d(arctgx) / arctgx } = int { dz / z } = lnz + C = ln(arctgx) + C
Учтите, что арктангенс под знаком логарифма должен быть взят по абсолютной величине.
2) Это берётся по частям. Обозначая u = e^(2x) и dv = sinx dx, после первого интегрирования получаем
int { e^(2x) sinx dx } = - e^(2x) cosx + 2 int { e^(2x) cosx dx }
Интеграл в правой части ещё раз берём по частям: u = e^(2x) и dv = cosx dx. Это даёт
int { e^(2x) cosx dx } = e^(2x) sinx - 2 int { e^(2x) sinx dx }
Если этот результат подставить в в исходное уравнение, то получим
int { e^(2x) sinx dx } = e^(2x) ( 2sinx - cosx ) - 4 int { e^(2x) sinx dx }
Как видите, в обеих частях уравнения стоят одинаковые интегралы, которые можно объединить. Получаем
5 int { e^(2x) sinx dx } = e^(2x) ( 2sinx - cosx )
или int { e^(2x) sinx dx } = e^(2x) ( 2sinx - cosx ) / 5