его демьян угощал ухой 4 буквы

Ответ от Boris Sudakov[гуру]
1. 10 человек.
Каждый сыграл 9 партий - со всеми остальными. Но если мы сложим эти количества (получится как бы 90 партий) - то каждую партию мы посчитаем дважды, по разу от имени каждого участника. Значит, реально партий в два раза меньше, то есть - 45. Что и требовалось.
2. 15 различных произведений, в которые входит хотя бы одно число.
У Вас 4 простых числа. Каждое либо входит, либо не входит, независимо от остальных. Количество сочетаний - 2^4 (два в четвертой степени) , это число равно 16. Но если мы не считаем произведением число 1 (ни один множитель не входит) - то остается 15.
А если мы не считаем "произведением" произведение всего из одного числа (например, 2 или 3 - когда входит ровно один множитель) - то надо вычеркнуть и их, их 4, по числу множителей. Тогда останется всего 11.
3. 63 раза.
Точно так же, как и в предыдущей задаче - каждый из друзей либо приходит, либо не приходит - имеем 2^6 (два в шестой степени) разных сочетаний, включая и сочетание "никто не пришел". Если его вычесть, то мы и получим 64-1=63 разных сочетания, когда у Демьяна есть хотя бы один гость.