энергия колеблющегося тела

Ответ от Ђимофеева Ольга[гуру]
Гармонические колебания - периодический процесс, в котором рассматриваемый параметр изменяется по гармоническому закону. Если на колебательную систему не действуют внешние переменные силы, то такие колебания называются свободными. Если амплитуда колебаний мала, то координата x массы по вертикальной оси изменяется по гармоническому закону:

x= Asin(wt + j)

где A - амплитуда колебаний, t - время, j - фаза колебаний, w - угловая частота колебаний, w = 2pf = 2p /T, f - частота колебаний, T - период колебаний.

Период колебаний T пружинного маятника, состоящего из грузика массой m и пружины жёсткостью k. Если грузик смещён из нулевого положения (в котором пружина не деформирована) на расстояние x, то на грузик со стороны пружины будет действовать сила -kx. Помимо этого на грузик действует сила тяжести mg. Согласно второму закону Ньютона, сумма всех сил, приложенных к грузику, равна ma, где a - ускорение. Таким образом, можем записать дифференциальное уравнение для пружинного маятника:

md2x/dt2 = -kx + mg

где g- ускорение свободного падения в гравитационном поле, d2x/dt2 - вторая производная координаты x по времени t. Это уравнение имеет следующее решение:

x = Asin[(k/m)1/2t + j] + mg/k

Из этой формулы период колебаний равен

T = 2p(m/k)1/2

и, соответственно, угловая частота w равна

w = (k/m)1/2

Амплитуда колебаний A и фаза колебаний j зависят от начальных условий (в момент времени t=0): начального смещение грузика x0 и начальной скорости v0. В состоянии равновесия пружина растянута на величину mg/k.

В общем случае на осциллятор действует сила трения, пропорциональная скорости движения грузика: F=av. В случае пружинного маятника эта сила возникает из-за сопротивления воздуха и неупругих свойств самого материала, из которых изготовлена пружина. В результате, амплитуда колебаний будет со временем уменьшаться. Уравнение свободного гармонического осциллятора с затуханием может быть записано следующим образом:

m(d2x/dt2) + a (dx/dt) + kx = mg

где a - коэффициент трения. Это уравнение может быть переписано в виде

d2x/dt2+ 2g(dx/dt) + W2x = g

где 2g = a / m; W2=k /m

В случае, когда W2 > g2 уравнение колебаний свободного гармонического осциллятора с затуханием имеет следующее решение:

x = Ae-gtcos(wt + j )

При этом период колебаний зависит от коэффициента затухания g :

T = 2p/w= 2p/(W2 -g2)1/2
Поскольку скорость V - есть производная от координаты по времени, а ускорение a - производная от скорости, то для гармонических колебаний эти величины зависят от времени также по гармоническим законам:
V = A*w*cos(wt + f0)
a = - A*w2*sin(wt + f0) = - w2*x

Зависимости смещения, скорости и ускорения от времени при ГК. Смещение и ускорения тела находятся в противофазах .

Колеблющееся тело обладает кинетической Ек и потенциальной энергией Еп. В случае движения тела по закону x = A*sin(wt + f0) значения Ек и Еп рассчитываются по формулам:

Ек = m*V2/2 = m*A2*w2/2*cos2(wt + f0),
Еп = k*x2/2 = m*A2*w2/2*sin2(wt + f0).

Причем максимальные значения кинетической и потенциальной энергий равны Eмакс = m*A2*w2/2. Видно, что максимальное значение энергии прямопропорционально квадрату амплитуды и частоты.

Величину полной механической энергии Е можно рассчитать как сумму величин кинетической и потенциальной энергий.

Е = Ек + Еп = Eмакс = m*A2*w2/2 = const.