фокус параболы

Ответ от Ёандра[гуру]
Парабола (греч. παραβολή — приложение) — геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы) .
Наряду с эллипсом и гиперболой, парабола является коническим сечением. Она может быть определена как коническое сечение с единичным
Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат:
(или, если поменять местами оси) .
[показать] Вывод
Уравнение директрисы : , фокус — , таким образом начало координат — середина отрезка . По определению параболы для любой точки, лежащей на ней выполняется равенство . и, тогда равенство приобретает вид:
.После возведения в квадрат и некоторых преобразований получается равносильное уравнение .
Квадратное уравнение при также представляет собой параболу и графически изображается той же параболой, что и, но в отличие от последней имеет вершину не в начале координат, а в некоторой точке, координаты которой вычисляются по формулам:
Уравнение может быть представлено в виде, а в случае переноса начала координат в точку каноническим уравнением. Таким образом для каждого квадратного уравнения можно найти систему координат такую, что в этой системе оно представляется каноническим.
[править] Расчёт коэффициентов квадратного уравнения
Если для уравнения известны координаты 3-х различных точек его графика , ,то его коэффициенты могут быть найдены так:
[править] Свойства
Парабола — кривая второго порядка.
Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и перпендикулярна директрисе.
Пучок параллельных оси лучей, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. Для параболы фокус находится в точке (0,25; 0).
Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе.
Парабола является антиподерой прямой.
Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.
При вращении параболы вокруг оси симметрии получается эллиптический параболоид.
[править] Построение
Построение параболыПараболу можно построить «по точкам» с помощью циркуля и линейки, не зная уравнения и имея в наличии только фокус и директрису. Вершина является серединой отрезка между фокусом и директрисой. На директрисе задаётся произвольная система отсчёта с нужным единичным отрезком. Каждая последующая точка является пересечением серединного перпендикуляра отрезка между фокусом и точкой директрисы, находящейся на кратном единичному отрезку расстоянии от начала отсчёта, и прямой, проходящей через эту точку и параллельной оси параболы.
[править] Связь с реальным миром
Траектории некоторых космических тел (комет, астероидов и других) , проходящих вблизи звезды или другого массивного объекта (звезды или планеты) на достаточно большой скорости имеют форму параболы (или гиперболы) . Эти тела вследствие своей большой скорости и малой массы не захватываются гравитационным полем звезды и продолжают свободный полёт. Это явление используется для гравитационных манёвров космических кораблей (в частности аппаратов Вояджер) .
При отсутствии сопротивления воздуха траектория полёта тела в приближении однородного гравитационного поля представляет собой параболу.
При вращении сосуда с жидкостью вокруг вертикальной оси поверхность жидкости в сосуде и вертикальная плоскость пересекаются по параболе.
Свойство параболы фокусировать пучок лучей, параллельных оси параболы, используется в конструкциях прожекторов, фонарей, фар, а также телескопов-рефлекторов (оптических, инфракрасных, радио…) , в конструкции узконаправленных (спутниковых и других) антенн, необходимых для передачи данных на большие расстояния, солнечных электростанций и в других областях.
Форма параболы иногда используется в архитектуре для строительства крыш и куполов.Источник: