функция лагранжа для нахождения условного экстремума

Ответ от Jack mmmmm[активный]
Часто приходится решать задачу о нахождении экстремума функции нескольких переменных при наличии некоторых дополнительных условий.Примеры: 1) Найти длины сторон прямоугольника, имеющего наибольшую площадь S = ху при заданной величине его периметра Р = 2х + 2у.2) Решить ту же задачу при условии, что х - у > а, а = const.Задача 1) имеет дополнительное условие в виде равенства, а задача 2) еще имеет условие в виде неравенства. Мы будем рассматривать задачи вида 1), которые называются задачами на условный экстремум. Задачи вида 2) называются задачами линейного (нелинейного, динамического) программирования и рассматриваются в специальных курсах.Для функции двух переменных имеем:О: Пусть z =(х, у) определена на множестве D. Пусть также LD — подмножество, заданное условием F(x, у) = 0. Точка называется точкой условного максимума (минимума) для (х, у) , если> 0 такое, что вдля выполненоУсловные максимум и минимум называются условными экстремумами.Для функции двух переменных задачу о нахождении точек условного экстремума решают одним из следующих двух способов.1. Если это возможно, из уравнения связи F(x, у) = 0 находят и затем подставляют в функцию z=(x, у) . В результатестановится функцией одной переменной х, для которой задача решается известными методами.В противном случае для нахождения точек экстремума применяется метод множителей Лагранжа [3. С. 288], который заключается в следующем.2. Составляют функцию Лагранжа(12.1)гдеR — множитель Лагранжа. Очевидно, что на множестве L второе слагаемое обращается в нуль вследствие выполнения условия F(x, у) = 0. Таким образом, на L выполнено и поэтому задача в случае функции двух переменных, как и в п. 1, сводится к поиску экстремума функции одной переменной х.Формально процедура решения такова. Приравниваем к нулю все частные производные функции Лагранжа:и отсюда находим решениеПусть — любое из решений этой системы.Подставляя внайденный изуравнения связи дифференциали обозначая(в опорном конспекте № 12записано в виде определителя) , получаем Тогда, еслиимеет в т.условный максимум, если> 0 — то условный минимум.Пример: Найти точки экстремума функции если уравнение связи у - х = 0. Рассмотрим оба способа решения. 1. Из аналитической геометрии известно, что любое уравнение 2-го порядка определяет в пространстве поверхность второго порядка (см. гл. 1). Выделим в заданном уравнении полные квадраты х и у: — уравнение параболоида вращения с вершиной в т. N(1, 2, 9) (рис. 12.3); у = х — уравнение плоскости. Подставляя уравнение связи в исходную функцию, получаемРис. 12.3Исследуем на экстремум:— максимум в т. М (1,5; 1,5).Функцияимеет условный экстремум= 4-2 · 2,25 + 6 · 1,5 = 13 - 4,5 = 8,5. 2. Составимлинейная система уравнений. Используя метод Крамера, получим: и— т. условного максимумаДля функциипри наличии m уравнений свя-зи функция Лагранжа будет иметь видНеобходимые условия условного экстремума выражаются системой (n + m) уравнений:(12.2)