гильбертово пространство

Ответ от Alexey Khoroshev[гуру]
Гильбертово пространство, математическое понятие, обобщающее понятие евклидова пространства на бесконечномерный случай. Возникло на рубеже 19 и 20 вв. в виде естественного логического вывода из работ нем. математика Гильберта в результате обобщения фактов и методов, относящихся к разложениям функций в ортогональные ряды и к исследованию интегральных уравнений. Постепенно развиваясь, понятие «Гильбертово пространство» находило все более широкие приложения в различных разделах математики и теоретической физики; оно принадлежит к числу важнейших понятии математики.
Первоначально Гильбертово пространство понималось как пространство последовательностей со сходящимся рядом квадратов (т. н. пространство l2). Элементами (векторами) такого пространства являются бесконечные числовые последовательности
x = (x1, x2,..xn,..)
такие, что ряд x21 + x22 +..+х2n + .сходится. Сумму двух векторов х + y и вектор lx, где l - действительное число, определяют естественным образом:
x + y = (x1 + y1,..xn + yn,..),
lx = (lx1, lx2, ..lxn,..)/
Для любых векторов х, y Î l2 формула
(x, y) = x1y1 + x2y2 + .+xnyn + .
определяет их скалярное произведение, а под длиной (нормой) вектора х понимается неотрицательное число
Скалярное произведение всегда конечно и удовлетворяет неравенству (х, у) £ x y. Последовательность векторов хn называется сходящейся к вектору х, если хn-х ® 0 при n ® ¥. Многие определения и факты теории конечномерных евклидовых пространств переносятся и на Гильбертово пространство Например, формула
где 0 £ j £ p определяет угол j между векторами х и у. Два вектора х и у называются ортогональными, если (х, у) = 0. Пространство l2 полно: всякая фундаментальная последовательность Коши элементов этого пространства (т. е. последовательность хn, удовлетворяющая условию хп-хm® 0 при n, m ® ¥) имеет предел. В отличие от евклидовых пространств, Гильбертово пространство l2 бесконечномерно, т. е. в нём существуют бесконечные системы линейно независимых векторов; например, такую систему образуют единичные векторы
e1 = (1, 0, 0,..), e2 = (0, 1, 0,..),..
При этом для любого вектора x из l2 имеет место разложение
x = x1e1 + x2e2 +..(1)
по системе {en}.
Посмотрите ссылки, привеленные ниже.
ссылка
Источник: