grad1

Ответ от Їервяков Сергей[гуру]
В любой точке, кроме начала координат (r=0), div grad(1/r) = 0
Действительно,
grad(1/r) = (−1/r²)r/r = − r/r³
(см. вопрос )
div grad(1/r) = [(∂/∂x)i + (∂/∂y)j + (∂/∂z)k][(−x/r³)i−(y/r³)j−(z/r³)k] =
= −[∂/∂x(x/r³)+∂/∂y(y/r³)+∂/∂z(z/r³)]
∂/∂x(x/r³) = 1/r³ + x*(−3/r^4)∂r/∂x = 1/r³ −3x²/r^5;
∂/∂y(y/r³) = 1/r³ −3y²/r^5; ∂/∂z(z/r³) = 1/r³ −3z²/r^5;
отсюда
∂/∂x(x/r³)+∂/∂y(y/r³)+∂/∂z(z/r³) = 1/r³ −3x²/r^5 + 1/r³ −3y²/r^5 + 1/r³ −3z²/r^5 = 3/r³ − 3(x²+y²+z²)/r^5 = 3/r³ − 3r²/r^5 = 0.
В начале координат div grad(1/r) имеет сингулярность; как оказывается,
div grad(1/r) = −4πδ(r),
где δ(r) — трёхмерная дельта-функция:
∫∫∫δ(r)dxdydz = 1;
δ(x,y,z)=0 при x²+y²+z²>0.