интеграл лебега примеры решений

Ответ от Vitek ^^[гуру]
интегрируемость может рассматриваться в разных контекстах. Два самых распространённых из которых: интеграл в смысле Риманна-Стилтьеса и интеграл в смысле Лебега. Как известно, на закрытом интервале [А, В] , где А, В существенные числа, интеграл Лебега равен интегралу Римана, если таковой существует. В этом случае, интеграл Римана существует если и только если функция под вопросом непрерывна везде, кроме счетного количества точек [А, В]. Это полностью характеризует интегрируемость в смысле Римана на [А, В] .
Интеграл в смысле Лебега более обобщенное понятие, и вклучает в себя функиции, интегрируемые в смысле Лебега, но не в смысле Римана (даже на [А, В]). К примеру, рассмотрите функцию, заданую следующим определением, на интервале [0, 1]:
f(x) = 1 если x нерациональное число
f(x) = 0 если x рациональное число
Тогда f(x) интегрируема в смысле Лебега, где интеграл Лебега равен 1, но не интегрируема в смысле Риманна. Заметьте, что эта функция везде прерывается, а значит прерывается на неисчислимом количестве точек, а значит не является непрерывной везде, кроме исчеслимого пространства. Сравните с предедущей характеристикой Риманновой интегрируемости.
Что же касается интеграла Лебега: функция интегрируема если и только если фунция является измеримой, и интеграл Лебега положительной и отрицательной части это функции не равен бесконечности. А значит, што существуют измеримые функции, которые не являются интегрируемыми функциями в смысле Лебега (в противоречие томо, что было предложено человеком выше). К примеру,
f(x) = sin(x)
измерима на всей существенной прямой, но интеграл Лебега не существует. Проблема в том, что, в зависимости от того, как вычислять интеграл, можно получить разные ответы - в одном случае 0, в другом бескокечность, ну а в третем, бесконечность - бесконечность, что, как вы знаете, не имеет смысла.
Но если функция измерима н конечном множестве А, тогда функция интегрируема в смысле Лебега на множестве А. Заметьте, что в примере выше, множество всех существенных чисел (вся существенная прямая) бесконечное множество (в смысле размерности Лебега).