Автор Андрей Автомонов задал вопрос в разделе Образование
Исследовать на сходимость и получил лучший ответ
Ответ от Їервяков Сергей[гуру]
Собственно, поскольку не ставилась задача посчитать интеграл, а просто исследовать его сходимость, то можно сделать это с помощью оценки.В окрестности нижнего предела (1) и при любом x>1 интеграл регулярен ⇒ достаточно исследовать только окрестность бесконечности.а) n<0: x^n/e^x ≤ e^(−x), а интеграл от e^(−x) от 1 до +∞ сходится (равен 1/e).б) n>0.При достаточно больших x ∀ n>0 подынтегральную функцию можно оценить сверху как e^(−x/2):lim (x^n/e^x)/(e^(−x/2) = lim (x^n/e^(x/2)) = 0x→+∞ x→(степенная функция растёт медленнее экспоненты. Убедиться в этом можно, например, применив достаточное число раз правило Лопиталя)А интеграл+∞∫ e^(−x/2) dx сходится (он равен 2/√e).1
Интеграл сходится при любом значении n. ^ означает степень, * умножение.1) Если n =0, то f(x)=e^(-x), и данный интеграл равен int e^(-x)dx=1/e.2) Если n отрицательно, n=-m, то x^n<=1, тогда f(x)<=e^(-x), и данный интеграл меньше чем int e^(-x)=1/e.3) Если n положительно, то можно интегрировать по частям, при этом каждое интегрирование уменьшает степень на 1. Так доберёмся до 0 или отрицательной степени х. Первое интегрирование по частям:int x^n*e^(-x)=-e^(-x)x^n+int (nx^(n-1)e^(-x))dx