исследовать на условную и абсолютную сходимость

Ответ от Кар[гуру]
ПЕРВЫЙ РЯД
а) исследуем на абсолютную сходимость.
берем ряд из модулей
∑(2n+1)/(n(n+1))
рассмотрим общий член этого ряда
(2n+1)/(n(n+1)) он эквивалентен 2/n.
ряд ∑2/n=2∑1/n-- расходится (гармонический).
Значит и ряд ∑(2n+1)/(n(n+1)) расходится по асимптотическому признаку.
Значит ряд исходный НЕ СХОДИТСЯ абсолютно.
б) исследуем на условную сходимость (используем признак Лейбница)
1. знаки меняются через один
2. предел (2n+1)/(n(n+1)) =0 (при n стремящемся к бесконечности)
3. последовательность (2n+1)/(n(n+1)) должна быть убывающей.
это можно доказать разными способами, например, посчитать производную функции (считая n- непрерывной переменной)
(2n+1)/(n²+n).
она равна: [ 2(n²+n)-(2n+1)(2n+1)]/(n²+n)².
2(n²+n)-(2n+1)(2n+1)= - 2n²-2n-1<0 при всех положительных n.
значит, функция (2n+1)/(n(n+1)) убывает.
последовательность тоже.
Признак Лейбница выполняется, значит ряд сходится условно.