как построить график функции

Ответ от Julia[гуру]
Для построения графика функции нужно исследовать её свойства. Прежде всего надо найти область определения функции, а потом исследовать функцию на четность и периодичность. Т. к. график четной функции симметричен относительно оси Оу, а график нечетной - относительно начала координат, то для четных и нечетных функций можно ограничится исследованием их свойств лишь при х? 0. Если периодическая и Т – её основной период, то можно ограничится исследованием свойств функции на промежутке длинны Т.
Далее полезно найти точки пересечения графика с осями координат и определить интервалы знакопостоянства функции. Дело в том, что если, скажем, на интервале (a; b) функция y=f(x) принимает только положительные значения, то график её на этом интервале лежит выше оси Ох. Значит, часть плоскости, лежащею под указанным интервалом, можно заштриховать – там графика нет. Эта часть исследования позволяет указать области, где может лежать график функции. После этого можно изучить поведения функции на границах области определения, установить характер точек разрыва (если они есть) , найти асимптоты. Наконец следует найти промежутки возрастания и убывания функции и исследовать её на экстремум.
Подводя итог всему сказанному выше, получаем следующую схему исследования свойств функции и построения ее графика.
1. Найти область определения функции,
2. Исследовать функцию на четность.
3. Исследовать функцию на периодичность.
4. Найти точки пересечения графика с осями координат.
5. Определить промежутки знакопостоянства.
6. Исследовать функцию на границах области. Найти асимптоты.
7. Исследовать функцию на экстремум.
8. Составить таблицу значений функции для некоторых значений аргумента.
9. Используя все полученные результаты, построить график функции.
График функции y=(x+1)/(x^2-6x+8) (очень подробно расписывать не буду)
1)область определения
знаменатель (x^2-6x+8) не равен нулю
x<2, 2<x<4,>4
2) первая производная=
= - (x^2+2x-14) / (x^2-6x+8)^2
3) точки пересечения с осью Ox (приравняй всю функцию к нулю)
x=-1
4)точки пересечения с осью Oy ( вместо x подставь в функцию 0)
y=0,125
5)вертикальные асимптоты (приравняй знаменатель к 0)
x=2
x=4
6) горизонтальные асимптоты
y=0
7)критические точки (sqrt - это корень)
приравняй производную функции к 0
x=-1+sqrt15
x=-1-sqrt15
8) точки разрывы (=вертикальные асимптоты_
x=2
x=4
9) симметрия относительно оси ординат - нет
симметрия относительно начала координат - нет
да!
еще надо найти интервалы возрастания и убывания
Источник: ссылка