коэффициент жесткости

Ответ от RAYBER R[эксперт]
Коэффициент жесткости
Давайте проведем небольшое исследование коэффициента жесткости.
Пусть у нас есть две пружины с коэффициентами жесткости к1 и к2.
Попробуем рассчитать коэффициент жесткости пружины, которая может заменить эти две пружины, если они соединены параллельно.
Представим, что мы потянули за концы этих пружин:
каждая из них удлинилась на х.
в каждой из них возникнут силы упругости к1х и к2х, которые приложены в одной точке,
Поэтому мы можем заменить эти две пружины на одну, которая растянута на х и создает силу (к1+к2)х, следовательно, Fобщ=(к1+к2)х=кобщх. Отсюда получаем, что кобщ=к1+к2
Пусть у нас есть две пружины с коэффициентами жесткости к1 и к2.
Попробуем рассчитать коэффициент жесткости пружины, которая может заменить эти две пружины, если они соединены последовательно.
Представим, что мы потянули за конец второй пружины:
Каждая из них удлинилась на х1 и х2, соответственно.
Общее удлинение (деформация) будет равна х= х1+х2.
В каждой из пружин возникнут силы упругости F=к1х1=к2х1, Они равны между собой по 3 закону Ньютону, так как они с этими силами пружины действуют друг на друга в точке соединения.
Теперь ясно, что эти две пружины можно заменить одной, которая растянута на
х=х1+х2 (1)
и создает при этом силу упругости
F=кобщx= к1х1=к2х1 (2)
Из второго равенства получаем:
х=F/kобщ
x1=F/k1
x2=F/k2
Подставим эти значения в формулу (1), получим:
F/kобщ=F/k1+ F/k2
сократим в обеих частях равенства силу F и получим окончательный результат:
1/kобщ=1/k1+ 1/k2
Используем полученный результат чтобы ответить на такой вопрос:
Пусть у нас есть две пружины, изготовленные из одинаковых материалов, имеющих одинаковые сечения, но отличающиеся по длине в два раза. Коэффициент жесткости короткой пружины равен к. Чему равен коэффициентами жесткости длинной пружины?
Длинную пружину можно представить, как две одинаковые короткие пружины соединенные последовательно, поэтому
1/kдл=1/k+ 1/k=2/k, следовательно, кдл=к/2
Вывод
Таким образом, коэффициент жесткости зависит от длины пружины. Эта зависимость обратнопропорциональная. Этого и следовало, ожидать: длинную резинку натянуть легче чем короткую (это знают все мальчишки из 10а) .
Пусть у нас есть две пружины, изготовленные из одинаковых материалов, имеющих одинаковую длину, но отличающиеся по площади сечения в два раза. ("тонкий" и "толстый" стержень). Коэффициент жесткости тонкой пружины равен к. Чему равен коэффициентами жесткости "толстой" пружины?
"Толстую" пружину можно представить, как две одинаковые "тонкие" пружины соединенные параллельно, поэтому
kтол=k+ k=2k, следовательно, ктол=2к
Вывод
Таким образом, коэффициент жесткости зависит от площади поперечного сечения упругого стержня. Эта зависимость прямопропорциональная. Этого и следовало, ожидать: толстую резинку натянуть труднее чем тонкую (это знают все девчонки из 10а) .
Если объединить эти два вывода, то получим, что
К=Е (S/L)
(E - модуль Юнга, он зависит только от материала, из которого изготовлен упругий стержен (пружина) )