Автор Nada konnova задал вопрос в разделе Естественные науки
БЕЗ ГРАФИКА как понять, когда производная не существует на пальцах, простым языком на КОНКРЕТНЫХ примерах с цифрами и получил лучший ответ
Ответ от Михаил Чебодаев[эксперт]
Думаю, что сначала надо рассмотреть что такое производная. В математике ее определяют как предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Т. е. для того чтобы взять производную в некоторой точке x0 нужно найти отношение [f(x)-f(x0)]/[x-x0], когда x расположена как можно ближе к точке x0. Теперь, исходя из этого определения, можно рассмотреть варианты, когда такое отношение не существует.Но сначала посмотрим, что будет для «хороших» функций, для которых все-таки производная в точке x0 существует. Для них возникает такая интересная вещь, что с некоторого расстояния приближение точки x к точке x0 перестает влиять на величину искомого отношения и значит, что данное отношение и определяет производную.Теперь глядя на нашу формулу можно сразу выявить два типа «плохих» функций, для которых в точке x0 производная будет отсутствовать. Первым типом таких «плохих» функций будут те, которые не определены в окрестности точки x0. Т. е. область определения функции не включает в себя окрестность точки x0. Понятно, что для таких функций мы не сможем приблизиться к точке x0 как угодно близко. Примером такой функции будет ln(|x|-1). Она не определена в области -1<x<1.>1). Понятно, что в точке x0=1 производная не определена.Оба этих типа «плохих» функций называются разрывные функции. Существует и третий тип разрывных функций, у которых производная в некоторой точке не существует. Такие функции похожи на первый тип, но в отличие от них они неопределенны только в одной точке x0, а в ее окрестности будет все в порядке. Тогда говорят, что точка x0 выколота. Примером такой функции будет функция 1/x. Она не имеет производную в окрестности точки x0=0, поскольку и сама функция, и ее производная в этой точке будут равны бесконечности, а значит и не определены в области действительных чисел.Чтобы рассмотреть четвертый тип «плохих» функций, которые не являются разрывными нужно определить понятие правой и левой производной. Конечно можно и без них, но мне кажется, что так будет нагляднее.Итак, если для первого и третьего типов мы ничего не можем сделать в точке x0, то для второго типов мы можем определить так называемые правые и левые производные. Для их определения надо чуть-чуть изменить нашу формулу на такую: [f(x2)-f(x1)]/[x2-x1]. Здесь точки x1 и x2 будут приближаться к точке x0 слева (левая производная) или справа (правая производная)Так вот четвертым типом будут функции, которые непрерывны, но производная слева и производная справа не будут равны друг другу. В точке x0 такие функции имеют излом (угол) . Примером такой функции будет функция модуля, т. е. y=|x|. Она имеет излом в точке x0=0Кажется, что это все возможные типы функций, у которых не существует производная, хотя мог что-нибудь и пропустить.P.S. Какие-то проблемы с отображением математических знаков.
Без графика объяснить тяжелее, но всё же попробую. Возьмём, например, функцию у = 1/( х - 1). При х = 1 данная функция просто неопределена, то есть данному значению х не соответствует никакое у ( на 0 делить нельзя ),ну и соответственно производной в этой точке быть не может ( условие определённости функции в точке - одно из условий сущестования производной этой функции в данной точке) . Или другой вариант : у = -1 при х меньше 0,и у = 1 при х большем или равном 0. У этой функции также нет производной в точке 0 - потому что функция имеет разрыв в этой точке ( то есть для того, чтобы функция имела производную в точке, она должна быть ещё и непрерывна в данной точке ). Ну и напоследок : представьте себе "домик " , точнее его крышу, график : сначала прямая идёт вверх, затем вниз. Так вот, в точке, соответствующей вершие "крыши", функция также не имеет производной, потому что здесь угол, излом. Функция должна быть ещё и гладкой, для того чтобы у неё была производная в точке.... ( это как раз из области графиков - проведя ладонью по графику "гладкой" функциинельзя "уколоться" ). Ну а ещё проще - по определению : производной называется ПРЕДЕЛ отношения приращения самой функции ( у ) к приращению аргумента ( х ), при стремлении приращения аргумента к нулю, то есть : берём точку х0, рядом ещё одну точку х1, и смотрим, чему равно (у (х1) - у (х0))/(х1 - х0 ). А следующую точку х возьмём ещё ближе к х0, а затем ещё ближе, и смотрим, к чему стремится разность значений функции, делённая на разность значений аргумента. И если есть какой-то предел, то это и будет производной функции в данной точке. Например : у = 2х. Предел ( 2х1 - 2х0 )/ (х1 - х0 ) = пределу 2* ( х1 - х0 )/ ( х1 - х0) при х1 стремящемуся к х0 и равен 2. Или : у = х*х Предел ( х1*х1 - х0*х0 )/ ( х1 - х0 ) = пределу (х1 - х0 )*( х1 +х0)/ (х1 - х0) - числитель мы разложили как разность квадратов, затем сокращаем общие множители в числителе и знаменателе - и получаем что первый предел равен пределу х1+х0, при х1 стремящемуся к х0. Но чем ближе х1 к х0, тем меньше х1 отличается от х0, значит, в пределе будет просто 2х0 ( только что мы доказали, что производная от х в квадрате равна 2х ). Ну и самое главное : если рядом с графиком функции нарисовать прямоугольный треугольник так, чтобы гипотенуза,точнее, вершины её, принадлежали графику, при этом один из катетов - приращение функции ( высота треугольника ), а второй катет - приращение аргумента ( основание треугольника ), а затем посмотреть, что же происходит при уменьшении размеров треугольника ( при уменьшении разности х ), то становится понятно, что чем меньше треугольник, тем ближе гипотенуза к касательной к этой функции, а вот тангенс угла наклона касательной как раз и будет значением производной функции в точке - и это очень удобно : тангенс положительный - касательная идёт "вверх" при увеличении х, функция в этой точке возрастает, тангенс отрицательный - функция идёт вниз при увеличении х, то есть убывает этой точке, тангенс равен 0 - касательная к графику горизонтальна ( и сразу возникает подозрение, а не вершина ли это какого-то холмика, или же не дно это оврага - то есть, не принимает ли функция в этой точке максимальное или минимальное значение ). Пожалуй, всё. Удачи !
Производная, это скорость изменения функции. Вы едете на машите с неизменной скоростью, производная скорости равна 0, как только скорость стала меняться появилось ускорение это производная от скорости вы это почувствуете на себе.