Автор MAD_MARGA задал вопрос в разделе Домашние задания
Помогите, пожалуйста, с примерами по высшей математике! Тема: "Предел функции". и получил лучший ответ
Ответ от Ёаша[гуру]
1) Используем формулу для косинуса разности
cos a - cos b = -2 * sin ((a + b)/2) * sin ((a - b)/2)
Тогда
cos 2x - cos x = -2 * sin (3x/2) * sin (x/2)
lim (x->0) (cos 2x - cos x)/(1 - cos x) = lim (x->0) (-2 * sin (3x/2) * sin (x/2))/(1 - (1 - 2 * sin^2 (x/2)) = lim (x->0) (-2 * sin (3x/2) * sin (x/2))/(1 - 1 + 2 * sin^2 (x/2)) =
= lim (x->0) (-2 * sin (3x/2) * sin (x/2))/(2 * sin^2 (x/2))
Использовали формулу косинуса двойного угла
cos 2x = 1 - 2 * sin^2 x => cos x = 1 - 2 * sin^2 (x/2)
Далее используем замену на эквивалентные бесконечно малые.
Если x -> 0, то sin (ax) можно заменить на ax.
lim (x->0) (-2 * sin (3x/2) * sin (x/2))/(2 * sin^2 (x/2)) =
= lim (x->0) (-2 * (3x/2) * (x/2))/(2 * (x/2)^2) = lim (x->0) (-3/2 * x^2)/(1/2 * x^2) = (-3/2)/(-1/2) = -3
2) Используем замену на бесконечно малые arctg (ax) можно заменить на ax.
lim (x->0) 5x/arctg (3x) = lim (x->0) (5x)/(3x) = 5/3
3) lim (x->0) ((x + 8)/(x - 2))^x = ((0 + 8)/(0 - 2))^0 = (-4)^0 = 1.
Там 1-е и 2-е, а в 3-м нет неопределенности и ответ будет единица
1) Используем формулу для косинуса разности
cos a - cos b = -2 * sin ((a + b)/2) * sin ((a - b)/2)
Тогда
cos 2x - cos x = -2 * sin (3x/2) * sin (x/2)
lim (x->0) (cos 2x - cos x)/(1 - cos x) = lim (x->0) (-2 * sin (3x/2) * sin (x/2))/(1 - (1 - 2 * sin^2 (x/2)) = lim (x->0) (-2 * sin (3x/2) * sin (x/2))/(1 - 1 + 2 * sin^2 (x/2)) =
= lim (x->0) (-2 * sin (3x/2) * sin (x/2))/(2 * sin^2 (x/2))
Использовали формулу косинуса двойного угла
cos 2x = 1 - 2 * sin^2 x => cos x = 1 - 2 * sin^2 (x/2)
Далее используем замену на эквивалентные бесконечно малые.
Если x -> 0, то sin (ax) можно заменить на ax.
lim (x->0) (-2 * sin (3x/2) * sin (x/2))/(2 * sin^2 (x/2)) =
= lim (x->0) (-2 * (3x/2) * (x/2))/(2 * (x/2)^2) = lim (x->0) (-3/2 * x^2)/(1/2 * x^2) = (-3/2)/(-1/2) = -3
2) Используем замену на бесконечно малые arctg (ax) можно заменить на ax.
lim (x->0) 5x/arctg (3x) = lim (x->0) (5x)/(3x) = 5/3
3) lim (x->0) ((x + 8)/(x - 2))^x = ((0 + 8)/(0 - 2))^0 = (-4)^0 = 1.