Простейшие логарифмические уравнения
Автор Илона Бектурганова задал вопрос в разделе Другое
Логарифмические уравнения и получил лучший ответ
Ответ от Капель[гуру]
Логарифмические уравнения
Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестной является аргумент логарифмической функции.
Простейшим логарифмическим уравнением, решение которого сводятся к решению алгебраического уравнения, является уравнение
logaf(x)=b, (1)
где a - некоторое положительное число, отличное от единицы, b - любое действительное число, а f(x) некоторое алгебраическое выражение. Логарифмическое уравнение (1) эквивалентно алгебраическому уравнению
f(x)=ab
В случае, когда f(x)=x, логарифмическое уравнение (1) имеет решение x=ab .
Множество решений логарифмического уравнения вида P(logax)=0, где P - некоторый многочлен, находится следующим образом.
Ввозится новая неизвестная y=logax, и уравнение решается как алгебраическое уравнение относительно y . После этого решаются простейшие логарифмические уравнения вида (1).
В некоторых случаях, для того чтобы свести решение логарифмического уравнения к последовательному решению алгебраического и простейших логарифмических уравнений, необходимо предварительно сделать подходящие преобразования логарифмов, входящих в уравнение. Такими преобразованиями могут быть преобразование суммы логарифмов двух величин в логарифм произведения этих величин, переход от логарифма с одним основанием к логарифму с другим основанием и т. д.
Уравнение вида
logg(x)f(x)=c,
где c - число, a f(x),g(x) - некоторые функции переменной x, эквивалентно уравнению
f(x)=[g(x)]c,
рассматриваемому на множестве допустимых значений исходного уравнения, которое определяется как множество решений системы неравенств
f(x)>0, g(x)>0, g(x)/=1.