Mju 2
Автор Ўрий Семенов задал вопрос в разделе Образование
Задача по физике (последняя) и получил лучший ответ
Ответ от JoKa Fern Lowd[гуру]
Кое какие идейки есть
Рассмотрим момент скольжения, когда направление из центра сферы на тело составляет угол альфа с вертикалью
Записав второй закон Ньютона в проекции на направление нормали получим
mg cos альфа - N = mv^2 / R
Откуда N=mg cos альфа - mv^2 / R
Откуда сила трения равна F = мю mg cos альфа - мю mv^2 / R
При смещении тела по сфере на угол dальфа перемещение составляет R dальфа
Работа силы трения равна (с противоположным знаком, так как сила трения направлена против скорости) интегралу от FR в пределах от 0 до альфа, причём интегрировать мы не можем, так как v является неизвестной функцией угла альфа.
Работа силы тяжести на участке от 0 до альфа представляет собой (с противоположным знаком) изменение потенциальной энергии тела, то есть равна mgR(1- cos альфа)
Запишем закон сохранения энергии для тела на участке от 0 до альфа
mv^2 / 2 = mv0^2 / 2 + mgR(1-cos альфа) - интеграл FR по альфа
обозначим mv^2 / 2 как K, тогда выражение для F примет вид
F = мю mg cos альфа - 2 мю K / R
а закон сохранения энергии
K = K0 + mgR(1-cos альфа) - интеграл FR по альфа
продифференцируем обе части этого уравнения по альфа
dK / dальфа = mgR sin альфа - FR = mgR sin альфа - мю mgR cos альфа + 2 мю К
или
K' - 2 мю K = mgR sin альфа - мю mgR cos альфа
Это уравнение для K(альфа) уже доступно первокурснику
Общее решение однородного
Ko = A * exp (2мю альфа)
Частное решение неоднородного ищем в виде
K* = a * sin альфа + b * cos альфа
Подставляя в уравнение, находим
a-2b мю=-мю mgR
-b-2a мю=mgR
откуда находим a и b
a=-3 mgR мю / (1 + 4 мю^2)
b=mgR (2 мю^2 - 1) / (1 + 4*мю^2)
Общее решение неоднородного
K=Ko+K* = A * exp (2мю альфа) + a * sin альфа + b * cos альфа
Подставляем сюда значение K0 при альфа = 0 чтобы найти коэффициент A
K0 = A + b
A = K0 - b
Зная выражение для K (альфа) , можно получить выражение для N(альфа)
N = mg cos альфа - mv^2 / R = mg cos альфа - 2 K / R
В момент отрыва N = 0
Это даёт нам обыкновенное (недифференциальное) уравнение для альфа
К сожалению это уравнение в общем виде является трансцендентным и решать его можно только численными методами
Оно позволяет найти альфа отрыва, затем подставив его в формулу
mg cos альфа - mv^2 / R = 0
можно найти и скорость отрыва
Примечание: я попробовал сделать расчёт для приведенных в условии численных значений
У меня получилось уравнение (примерно)
-8.5074 * exp(0.7 альфа) + 11.1* сos альфа + 7.77 * sin альфа = 0
Откуда нашлось значение альфа = 0.66291 радиан примерно
Отсюда можно найти и скорость v = sqrt(gR cos альфа) = 1.71 м/с примерно