многообразие

Ответ от Булат 1[гуру]
Есть понятие евклидова пространства. Что это такое, учат в школе.
Многообразие - "искривленное" евклидово пространство (например, как поверхность Земли, шар) , и если рассматривать маленькую область этого многообразия, эта область выглядит как "прямое" пространство, но если смотреть глобально - нет. Например, если вы на земле нарисуете треугольник, пусть даже километровый, вы увидите, что сумма углов = 180 градусов, т. е. кривизна не чувствуется, но если нарисовать треугольник со сторонами в тысячи километров, видно, что сумма углов такого треугольника больше 180 градусов (это говорит о положительной кривизне) .
Кривизну можно "почувствовать" по-другому: построить окружность заданного радиуса R. Если длина окружности получится меньше 2*pi*R, кривизна положительна, если меньше - отрицательна, если точно равна - кривизны нет, т. е. это обычное пространство, а не многообразие.
Еще способ узнать о кривизне - параллельный перенос вектора по замкнутому контуру. Если вы по плоскому пространству будете тащить вектор по какой-нибудь траектории, и придете в исходную точку, то этот перенесенный вектор совпадет с изначальным. В "кривом пространстве", т. е. в многообразии, вектор сам с собой может не совпасть.
В общем, в отличие от пространства, в многообразии нет однозначного понятия параллельности и даже с измерением расстояний появляются проблемы.