Автор Вася Петров задал вопрос в разделе ВУЗы, Колледжи
Ребят помогите решить... ппц забыл уже( ...
6^2n-2 + 3^n+1 + 3^n-1 Доказать что кратно 11 и получил лучший ответ
Ответ от Алексей Попов (Океан)[гуру]
Решение
6^2n-2 + 3^n+1 + 3^n-1 = 36^n-1 + 3^n+1 + 3^n-1= 3^n-1( 12^n-1 +9+1) = 3^n-1( (12^n-1) -1 +11)
= 3^n-1( (12^(n-1) -1) +11))
выражение 12^(n-1) -1) = ( 12-1)* А = 11А, где А - какое-то выражение не играющее роли в наших рассуждениях ( все выражения вида (а^n) -1 раскладываются на множители, один из которых (а-1))
тогда 6^2n-2 + 3^n+1 + 3^n-1 = 3^n-1( ( 11А +11) = 11*(3^n-1)* ( А+1) то есть кратно 11
Ответ от ...[гуру]
Могу сделать какие-то преобразования, но, как я поняла, н - переменная, это всё осложняет!
Стоп! ! Всё, что связано с н - показатель, верно??? ?
ВАся ПЕтров, если ты из Беларуси, то можешь набрать меня, я продиктую, что у меня получилось. Всё получается!! !
=6^2 * 2^(n-1)* 3^(n-1) + 3^(n+1) + 3^(n-1)= 3^(n-1)*(36*2^(n-1)+1+3^2)= 3^(n-1)*(36*2^(n-1)+10)
А дальше подбором обычным доказываем кратность!!
Могу сделать какие-то преобразования, но, как я поняла, н - переменная, это всё осложняет!
Стоп! ! Всё, что связано с н - показатель, верно??? ?
ВАся ПЕтров, если ты из Беларуси, то можешь набрать меня, я продиктую, что у меня получилось. Всё получается!! !
=6^2 * 2^(n-1)* 3^(n-1) + 3^(n+1) + 3^(n-1)= 3^(n-1)*(36*2^(n-1)+1+3^2)= 3^(n-1)*(36*2^(n-1)+10)
А дальше подбором обычным доказываем кратность!!
Ответ от Виктор[гуру]
по индукции можно доказать
по индукции можно доказать
Ответ от Александр Райзер[гуру]
По индукции.
Р (n) = 6^(2n - 2) + 3^(n + 1) + 3^(n - 1)
P(1) = 1 + 9 + 1 = 11
Пусть P(k) делится на 11
Тогда P(k + 1) = 6^(2k) + 3^(k + 2) + 3^k = 36*6^(2k - 2) + 3*3^(k + 1) + 3*3^(k - 1) = 33*6^(2k - 2) + 3P(k), то есть тоже делится на 11
По индукции.
Р (n) = 6^(2n - 2) + 3^(n + 1) + 3^(n - 1)
P(1) = 1 + 9 + 1 = 11
Пусть P(k) делится на 11
Тогда P(k + 1) = 6^(2k) + 3^(k + 2) + 3^k = 36*6^(2k - 2) + 3*3^(k + 1) + 3*3^(k - 1) = 33*6^(2k - 2) + 3P(k), то есть тоже делится на 11
Ответ от Alex Cheredov[гуру]
Зачем делить на 2?
Метод математической индукции
База n=1 => 6^0+3^2+3^0=11 делится на 11
Пусть доказано для n=k
Докажем, что тогда и для n=k+1 это верно
Получим:
6^2k+3^(k+2)+3^k= 3*((2^(2k))*3^(2k-1)+3^(k+1)+3^(k-1))=
3*((2^(2k))*3^(2k-1)-(2^(2k-2))*3^(2k-2)+(2^(2k-2))*3^(2k-2)+3^(k+1)+3^(k-1)) Посление три слагаемые (2^(2k-2))*3^(2k-2)+3^(k+1)+3^(k-1) - делятся на 11 по индукционному предположению, осталось доказать, что (2^(2k))*3^(2k-1)-(2^(2k-2))*3^(2k-2) делится на 11 вынесем общий множитель и получим: (2^(2k-2))*3^(2k-2) *((2^2)*3-1) Поледняя скобка в точности 12-1=11.
Таким образом докзано, что при индукционном предположении следующее число этого вида делится на 11, поэтому и для любого натурального n оно кратно 11
Второй способ.
Нужно применить теорию сравнений чисел по остакам от деления.. . Если В его знаете, то тоже все пройдет гладко.
Зачем делить на 2?
Метод математической индукции
База n=1 => 6^0+3^2+3^0=11 делится на 11
Пусть доказано для n=k
Докажем, что тогда и для n=k+1 это верно
Получим:
6^2k+3^(k+2)+3^k= 3*((2^(2k))*3^(2k-1)+3^(k+1)+3^(k-1))=
3*((2^(2k))*3^(2k-1)-(2^(2k-2))*3^(2k-2)+(2^(2k-2))*3^(2k-2)+3^(k+1)+3^(k-1)) Посление три слагаемые (2^(2k-2))*3^(2k-2)+3^(k+1)+3^(k-1) - делятся на 11 по индукционному предположению, осталось доказать, что (2^(2k))*3^(2k-1)-(2^(2k-2))*3^(2k-2) делится на 11 вынесем общий множитель и получим: (2^(2k-2))*3^(2k-2) *((2^2)*3-1) Поледняя скобка в точности 12-1=11.
Таким образом докзано, что при индукционном предположении следующее число этого вида делится на 11, поэтому и для любого натурального n оно кратно 11
Второй способ.
Нужно применить теорию сравнений чисел по остакам от деления.. . Если В его знаете, то тоже все пройдет гладко.
Ответ от 3 ответа[гуру]
Привет! Вот подборка тем с похожими вопросами и ответами на Ваш вопрос: Ребят помогите решить... ппц забыл уже( ...
6^2n-2 + 3^n+1 + 3^n-1 Доказать что кратно 11
6^2n-2 + 3^n+1 + 3^n-1 Доказать что кратно 11