наибольшее и наименьшее значение функции двух переменных

Ответ от JoKa Fern Lowd[гуру]
экстремумы могут достигаться или внутри области или на границе
экстремум непрерывной функции внутри области может достигаться только в критической точке, где ∂z/∂x=0, ∂z/∂y=0
экстремум на линейной границе может достигаться только в углах или в критической точке границы, где ∂z/∂l=0, где l — направление границы
∂z/∂x=3x²-3y
∂z/∂y=3y²-3x
Ищем критические точки внутри области
3x²-3y=0, 3y²-3x=0 ⇒ x²=y, x=y² ⇒ y=y⁴ ⇒ y=1, x=1
Значение функции в критической точке внутри области: z=1+1–3=–1
Ищем критические точки на границах:
x=0: направление границы l=y, ∂z/∂l=3y²-3x=0 ⇒ y=0, z=0+0–0=0
x=2: направление границы l=y, ∂z/∂l=3y²-3x=0 ⇒ y=√2, z=8+2√2-6√2=8-4√2≈2.34
y=0: направление границы l=x, ∂z/∂l=3x²-3y=0 ⇒ x=0, z=0+0–0=0
y=3: направление границы l=x, ∂z/∂l=3x²-3y=0 ⇒ x=√3, z=3√3+27-9√3=27-6√3≈16.6
Значения в углах:
x=0,y=0,z=0
x=0,y=3,z=27
x=2,y=0,z=8
x=2,y=3,z=8+27-18=17
Из всех критических точек и углов выбираем наибольшее и наименьшее значения:
Наибольшее: 27
Наименьшее: –1