Автор 1232 34124 задал вопрос в разделе ВУЗы, Колледжи
Найдите четырехзначное натуральное число, кратное 19 сумма цифр которого на 1 больше их произведения. Ответ: 3211 и получил лучший ответ
Ответ от AlexeyG[гуру]
Можно совершенно иначе.
0) Единственное рассуждение уважаемого Гуру, которое нам пригодится, - о том, что в числе нет нулей. Далее,
1) Утверждение: Если натуральные числа больше 1, то их сумма не больше произведения. Действительно, для двух натуральных чисел, больших 1, это очевидно: при a<=b
ab-a-b = b(a-1)-a >= b-a >= 0.
Для трех натуральных: abc >= ab+c >= a+b+c. Аналогично и для любого кол-ва натуральных. Доказано.
Следовательно, в нашем числе есть хотя бы одна цифра, равная 1. Допустим для удобства, что это цифра d. Тогда abc = abcd = a+b+c+d-1 = a+b+c.
Но произведение трех натуральных равно их сумме только в единственном случае, когда они различны и равны соответственно 1, 2 и 3. Док-во: пусть a<=b<=c.
а) Предположим, что они все больше 1. Тогда abc-a-b-c = c(ab-1)-a-b >= 3c-a-b > 0. Противоречие. Поэтому среди них есть единица (допустим, это a).
б) Отсюда имеем три числа - 1,b,c. Тогда 1*bc - 1-b-c = bc-1-b-c = c(b-1)-(b-1)-2 = (c-1)(b-1)-2 = 0. Следовательно, b=2 и с=3 (т. к. b<=c). Доказано.
Значит, наше число состоит из 2 единичек, тройки и двойки. Можно, конечно, делить все 12 таких чисел на 19 на калькуляторе, но и тут можно сэкономить: согласно признаку Перельмана делимости на 19 (), число десятков (не разряд десятков, а именно их количество: например, в числе 1132 - 113 десятков), сложенное с удвоенным числом единиц, должно делиться на 19. Такое число только одно, и оно равно 3211.
AlexeyG
(89969)
Завидуешь?
1) Утверждение: Если натуральные числа больше 1, то их сумма не больше произведения. Действительно, для двух натуральных чисел, больших 1, это очевидно: при a<=b
ab-a-b = b(a-1)-a >= b-a >= 0.
Для трех натуральных: abc >= ab+c >= a+b+c. Аналогично и для любого кол-ва натуральных. Доказано.
Следовательно, в нашем числе есть хотя бы одна цифра, равная 1. Допустим для удобства, что это цифра d. Тогда abc = abcd = a+b+c+d-1 = a+b+c.
Но произведение трех натуральных равно их сумме только в единственном случае, когда они различны и равны соответственно 1, 2 и 3. Док-во: пусть a<=b<=c.
а) Предположим, что они все больше 1. Тогда abc-a-b-c = c(ab-1)-a-b >= 3c-a-b > 0. Противоречие. Поэтому среди них есть единица (допустим, это a).
б) Отсюда имеем три числа - 1,b,c. Тогда 1*bc - 1-b-c = bc-1-b-c = c(b-1)-(b-1)-2 = (c-1)(b-1)-2 = 0. Следовательно, b=2 и с=3 (т. к. b<=c). Доказано.
Значит, наше число состоит из 2 единичек, тройки и двойки. Можно, конечно, делить все 12 таких чисел на 19 на калькуляторе, но и тут можно сэкономить: согласно признаку Перельмана делимости на 19 (, число десятков (не разряд десятков, а именно их количество: например, в числе 1132 - 113 десятков), сложенное с удвоенным числом единиц, должно делиться на 19. Такое число только одно, и оно равно 3211.
0) Единственное рассуждение уважаемого Гуру, которое нам пригодится, - о том, что в числе нет нулей. Далее,
Если хотя бы одна цифра в записи числа — нуль, то произведение цифр равно 0, а тогда их сумма равна 1. Единственное такое четырёхзначное число — 1000, но оно не кратно 19. Поэтому нулей среди цифр нет. Отсюда следует, что все цифры не меньше 1, и их сумма не меньше четырёх, а значит, произведение цифр не меньше трёх. Чтобы произведение было не меньше трёх хотя бы одна из цифр должна быть больше 1. Рассмотрим такие числа в порядке возрастания суммы их цифр.
Если сумма цифр равна 5, то число записывается одной двойкой и тремя единицами (это числа 1112, 1121, 1211, 2111). Произведение цифр равно 2, поэтому они не удовлетворяют условию.
Если сумма цифр равна 6, то число записывается одной тройкой и тремя единицами или двумя двойками и двумя единицами (это числа 1113, 1131, 1311, 3111, 1122, 1212, ..). Произведение цифр равно 3 или 4 соответственно, поэтому такие числа не удовлетворяют условию.
Если сумма цифр равна 7, то произведение должно быть равно 6. Это выполнено для чисел, записываемых тройкой, двойкой и двумя единицами. Поскольку число 3211 кратно 19, оно и является искомым