найти объем тела вращения онлайн

Ответ от Їервяков Сергей[гуру]
ОТВЕТ: V = 5π/6
Если функция задана уравнением y(x) на отрезке x∈[a;b], то объём тела, полученного вращением графика y(x) вокруг оси x, равен
V = π ∫[по x от a до b] y² dx
Наша задача — определить пределы интегрирования и формулу для y²(x).
Исследуем исходное уравнение.
Для начала заметим, что в левой части стоит неотрицательное выражение (обращающееся в ноль только при x=y=0). Значит, и выражение в правой части неотрицательно:
xy²≥0. Если y≠0, то это возможно только при x≥0
В случае y=0 получаем x^4=0, т. е. x=0
Итак, x≥0
Преобразуем исходное уравнение след. образом:
(y²−x)² = x²(1−x²)
Поскольку в левой части стоит неотрицательное выражение (полный квадрат) , то и в правой части должно быть неотрицательное выражение:
x²(1−x)(1+x)≥0
Поскольку x≥0, то выражение (1+x) положительно и на знак произведения влияния не оказывает ⇒ x²(1−x)≥0 ⇒ x≤1
Окончательно получаем: x∈[0;1]
y² &minus x = x√(1−x²)
y² = x (1 + √(1−x²)), x∈[0;1]
Итак, V = π (∫[по x от 0 до 1] xdx + ∫[по x от 0 до 1] x√(1−x²)dx) = π (½ + 1/3) = 5π/6
(второй интеграл считаем заменой 1−x²=t:
∫[по x от 0 до 1] x√(1−x²)dx = ½ ∫[по t от 0 до 1]√t dt = (½)/(3/2) = 1/3)
P. S. Красивая кривая 🙂
(Вопрос её подробного исследования выходит за рамки задачи, но график её выглядит примерно так: )