Автор Elena k задал вопрос в разделе ВУЗы, Колледжи
Найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющего начальным условиям. и получил лучший ответ
Ответ от Александр Приходько[гуру]
это неоднородное линейное ДУ второго порядка с постоянными коэфф.
ищем сначала общее решение с нулевой правой частью, т. е. однородного ДУ
y''+12y'+36y=0
составляем характеристическое ур-е из коэфф ОДУ
k^2 +12k+36=0
ищем корни к1 = -6 и к2 = -6
значит общее решение имеет вид e^(-6x) *(C1 + C2*x),
где С1 и С2 произвольные константы
теперь ищем общее решение неоднородного ДУ с заданной правой частью
для этого надо найти частное решение методом подбора формы частного решения
если правая часть многочлен второй степени, значит частное решение
следует искать в виде произведения многочлена второй степени с неизвестными коэфф
на х в степени r, где r - число корней характеристического уравнения равных нулю
у нас таких нет. значит r=0.
Наш неизвестный многочлен Ax^2 + Bx + C. Надо найти А, В и С.
Подставляем у=Ax^2 + Bx + C в исходное ДУ
( Ax^2 + Bx + C)`` + 12 (Ax^2 + Bx + C) + 36(Ax^2 + Bx + C) = 72 x^2 -18
2A + 12*(2Ax + B) + 36 A x^2 + 36 Bx + c = 72 x^2 -18
коэфф при одинаковых степенях должны быть равны
значит А=2
упрощаем 4 + 12*(4x + B) + 72 x^2 + 36 Bx + c = 72 x^2 -18
12*(4x + B) + 36 Bx + c = -22
48x + 12B +36 Bx + c =-22
находим В так как справа у х коэфф =0
48+36В= 0 В = - 48/36 = -4/3
теперь вычисляем с
12В+с = -22 с= -22 -12В= -22+ 12*4/3= -6
окончательно у = 2x^2-4/3 x -6
это частное решение неоднородного ДУ
Общее решение неоднородного ДУ получаем сложением
общего решения однородного ДУ и частного решения неоднородного
у = e^(-6x) *(C1 + C2*x) + 2x^2-4/3 x -6
Добрались...
Теперь осталось 1. подставить вместо x=0 y=1
получим первое ур-е для нахождения С1 и С2
1 = С1 -6 откуда С1=7
2. надо вычислить производную у и повторить подстановку: x=0 y=0 С1=7 и найти С2