Интеграл xcosxdx решение
Автор Ўлия Избицкая задал вопрос в разделе ВУЗы, Колледжи
подскажите как найти общий интеграл дифференциального уравнения xy'+2y=cosx??? и получил лучший ответ
Ответ от Марина Васильевна[гуру]
Это линейное уравнение, решается заменой y=UV ; y’=U’V+V’U: xU’V+xV’U+2UV=cosx ; xU’V+U(xV’+2V)=cosx, решение уравнения равносильно решению двух уравнений; 1)xV’+2V=0 ; 2)xU’V=cosx. Решаем 1)xV’=-2V ; xdV/dx=-2V ; dV/V=-2dx/x ; INT(dV/V)=INT(-2dx/x) ; lnlVl=-2lnlxl; lnlVl=lnl1/x²l ;V=1/x² ; решаем 2)xU’(1/x²)=cosx ; U’=xcosx ; dU/dx=xcosx ; dU=xcosxdx ; INT(dU)=INT(xcosxdx),посчитаем последний интеграл отдельно. Он берётся по частям. INT(xcosxdx)=[U=x; du=dx ; dV=cosxdx ; V=sinx]=xsinx-INT(sinxdx)=xsinx+cosx+C, теперь вернёмся к равенству INT(dU)=INT(xcosxdx), U=xsinx+cosx+C ; y=UV ; y=( xsinx+cosx+C)*(1/x ²) ; y=sinx/x+cosx/x²+C/x²-это ответ. INT-интеграл. Ответ проверен на WolframAlpha/