найти сумму ряда

Ответ от Марина Васильевна[гуру]
Для нахождения суммы числового ряда вида 1/(12) + 1/(23) + 1/(3*4) + ... + 1/(n(n+1)) используется метод телескопической суммы. Каждый член ряда можно разложить на разность двух дробей: 1/(k(k+1)) = 1/k - 1/(k+1). Тогда сумма первых n членов ряда, или частичная сумма, записывается так:
S_n = (1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + ... + (1/n - 1/(n+1)). При раскрытии скобок все промежуточные члены взаимно уничтожаются, и остаются только первый и последний член:
S_n = 1 - 1/(n+1) = n/(n+1). Это формула для суммы конечного числа членов. Например, для первых 100 членов сумма будет равна 100/101. Если требуется найти сумму бесконечного ряда, то она определяется как предел последовательности частичных сумм при n, стремящемся к бесконечности. Предел выражения n/(n+1) при бесконечно большом n равен 1. Таким образом, сумма данного бесконечного ряда равна 1.