нижняя граница

Ответ от Александр Титов[гуру]
Потому, что если к верхней границе прибавить произвольное положительное число (которых бесконечно много), то получится тоже верхняя граница, потому, что если любой элемент данного множества меньше верхней границы, то он и подавно меньше того, что получится, если к верхней границе прибавить положительное число.
Здесь - свойство транзитивности неравенства: если a < b и b < c, то a < c.
Здесь a - любой элемент множества, b - верхняя граница множества, c - любое число, большее b (которых бесконечно много). Поскольку любой элемент a данного множества меньше с, то с - верхняя граница.
Аналогично - с нижней границей.
Вот простой пример с нижней границей. Пусть дано N - множество натуральных чисел (1; 2; 3 и т. д.). У него есть нижняя граница, например, 0, потому что любое натуральное число больше нуля. Но если мы возьмём любое число, меньшее нуля, например, -5, то оно тоже будет нижней границей: 1 > -5; 2 > -5; 3 > -5 и т. д. - для всех натуральных чисел. Если мы возьмём, например, -10, то это тоже будет нижней границей и т. д. - таких чисел можно взять сколько угодно. Все они получаются из той нижней границы, которая существует по условию (в нашем примере - 0) путём вычитания произвольного положительного числа.