Автор Ёветлана Петрова задал вопрос в разделе Естественные науки
как понять функция обратима на конкретном примере? спасибо и получил лучший ответ
Ответ от Tram pampamp[гуру]
Большое спасибо господину Петухову за неверные примеры (3 штуки из 4).
С их помощь легко поясним суть понятия обратимые.
Если каждому значению у из множества значений функции соответствует только один х, что y=f(x), то функция обратима.
Это происходит тогда, когда разным х соответствуют разные значения функции.
(Каждое своё значение функция принимает один раз) .
Так происходит, например, если функция монотонна.
Берём примеры господина Петухова.
1.Неверный. Y=x^2. Двум разным значениям х соответствует одно значение функции:
x^2=(-x)^2. Функция необратима.
А вот если мы её рассмотрим на промежутке 0 < =x, то она станет обратимой, обратная х=sqrt y.
Аналогично, если мы функцию f(x) рассмотрим на промежутке x <= 0. Обратная
x=-sqrt y.
2.Неверный. y=sinx принимает одинаковые значения бесконечное число раз, необратимая. Однако если её рассматривать только на промежутке монотонности, т. е. при –pi/2 <= x <= pi/2 (это будет уже другая функция, с другой областью определения, а именно, не всё множество действительных чисел, а промежуток от –pi/2 до pi/2), то эта новая функция будет обратима, обратная x= arcsin y.
3.Верный, функция y=lnx монотонна, обратная функция x=e^y
4. Неверный, в том смысле, что господин Петухов утверждает, что «функция
y=x+sinx не может иметь обратную функцию» . Однако это не так.
Эта функция возрастающая, т. к. f’(x) >= 0 и f’(x) равна нулю точках pi*n.
Стало быть, каждое своё значение принимает ровно 1 раз, следовательно, обратима
Другой вопрос, что мы не можем выразить х через у, то функция от этого не перестаёт быть обратимой.