образуют ли векторы базис

Ответ от JoKa Fern Lowd[гуру]
для проверки образуют ли базис, можно посчитать определитель,
а можно преобразовать матрицу к треугольному виду
L₁=-4 3 -5
L₂=2 0 3
L₃=-1 -3 4
добавляем к первой строке третью, домноженную на -4
добавляем ко второй строке третью, домноженную на 2
L₁-4L₃=0 15 -21
L₂+2L₃=0 -6 11
L₃=-1 -3 4
домножаем первую строку на 2
2L₁-8L₃=0 30 -42
добавляем к первой строке вторую, домноженную на 5
2L₁+5L₂+2L₃=0 0 13
L₂+2L₃=0 -6 11
L₃=-1 -3 4
переставляем строки
L₃=-1 -3 4
L₂+2L₃=0 -6 11
2L₁+5L₂+2L₃=0 0 13
треугольная матрица получилась, значит векторы образуют базис
будем получать из неё диагональную матрицу
домножим первую строку на -2
-2L₃=2 6 -8
добавим к первой строке вторую
L₂=2 0 3
L₂+2L₃=0 -6 11
2L₁+5L₂+2L₃=0 0 13
домножим первую строку на 13
13L₂=26 0 39
добавим к первой строке третью, домноженную на -3
-6L₁-2L₂-6L₃=26 0 0
L₂+2L₃=0 -6 11
2L₁+5L₂+2L₃=0 0 13
домножим вторую строку на 13
13L₂+26L₃=0 -78 143
добавим к второй строке третью, домноженную на -11
-6L₁-2L₂-6L₃=26 0 0
-22L₁-42L₂+4L₃=0 -78 0
2L₁+5L₂+2L₃=0 0 13
получили диагональную матрицу
теперь получаем единичную матрицу делением строк на числа
(-3L₁-L₂-3L₃)/13=1 0 0
(11L₁+21L₂-2L₃)/39=0 1 0
(2L₁+5L₂+2L₃)/13=0 0 1
теперь домножаем первую строку на -3, вторую на -2, третью на 7 и всё это складываем
-3(-3L₁-L₂-3L₃)/13-2(11L₁+21L₂-2L₃)/39+7(2L₁+5L₂+2L₃)/13=-3 -2 7 = X
осталось раскрыть скобки и привести подобные
X=(47L₁+72L₂+73L₃)/39