парадокс де мере

Ответ от Maxim Bondarenko[гуру]
Леонид прав что из равенства логарифмов вовсе не следует, что равны и выражения, стоящие под знаком логарифма. Но тут дело в другом:
Берется заведомо истинное утверждение и из него делается вывод. При этом переход осуществляется от равенства выражений к равенству логарифмов, а это верно и для комплексных чисел. Записано правда "тогда и только тогда", но это не существенно: из левых равенств можно получить правые (от равенства выражений перейти к равенству логарифмов) , а обратная импликация обеспечивается тождественной истинностью самого левого равенства (истина может следовать из чего угодно, из истины не может следовать ложь - согласно таблицам истинности для импликации). Но получен неверный вывод!! !
Тут пропущен переход 2Ln(z)=Ln(z^2).
Причина ошибки в том, что для комплексных чисел логарифм многозначная функция и для них неверна формула:
2Ln(z)=Ln(z^2), которая неявно использовалась в преобразованиях.
Проверьте расписав логарифм.
Вообще 2Ln(z) подмножество Ln(z^2). Аналогично 2Ln(-z) подмножество Ln((-z)^2).
Множества Ln(z^2) и Ln((-z)^2) совпадают (тоесть Ln(z^2)= Ln((-z)^2) ), но 2Ln(z) и 2Ln(-z) разные (даже непересекающиеся) подмножества. Аргументы z и -z отличаются на пи.