Автор Бутин Артём задал вопрос в разделе Естественные науки
Что такое порядок точности аппроксимации? Как его определить из заданной формулы? и получил лучший ответ
Ответ от Пользователь удален[гуру]
Вы серъёзно хотите этого? Это же ДОЛГО объяснять.
Разностные отношения называются соответственно правой, левой и центральной разностными производными функции u(x) в точке xi, т. е. при фиксированном xi и при h®0 (тем самым при i®() пределом этих отношений является u'(xi). Проводя разложение по формуле Тейлора, получим
ux,i - u'(xi) = 0,5hu''(xi) + O(h2),
ux,i - u'(xi) = -0,5hu''(xi) + O(h2),
ux,i - u'(xi) = O(h2),
Отсюда видно, что левая и правая разностные производные аппроксимируют u'(x) с первым порядком по h, а центральная разностная производная - со вторым порядком. Нетрудно показать, что вторая разностная производная аппроксимирует u''(xi) со вторым порядком по h, причем справедливо разложение
Рассмотрим дифференциальное выражение с переменным коэффициентом k(x). Заменим выражение разностным отношением где a=a(x) - функция, определенная на сетке (h. Найдем условия, которым должна удовлетворять функция a(x) для того, чтобы отношение (aux)x,i аппроксимировало (ku')' в точке xi со вторым порядком по h. Подставляя в (2) разложения где ui' = u'(xi), получим :
С другой стороны, Lu = (ku')' = ku'' + k'u',
т. е.
Отсюда видно, что Lhu-Lu = O(h2), если выполнены условия
Условия называются достаточными условиями второго порядка аппроксимации. При их выводе предполагалось, что функция u(x) имеет непрерывную четвертую производную и k(x) - дифференцируемая функция.