преобразование фурье

Ответ от Макс[активный]
Преобразование любого не гармонического колебания в совокупность гармонических. С википедии цитата далее: "любое периодическое колебание может быть представлено как сумма гармонических колебаний с соответствующими амплитудами, частотами и начальными фазами. Среди слагаемых этой суммы существует гармоническое колебание с наименьшей частотой, которая называется основной частотой, а само это колебание — первой гармоникой или основным тоном, частоты же всех остальных слагаемых, гармонических колебаний, кратны основной частоте, и эти колебания называются высшими гармониками или обертонами — первым, вторым и т. д"
далее следует неточный, корявый, примерный рисунок сделаный в paint--

Ответ от Виталий Гордиенко[гуру]
Преобразование Фурье — операция, сопоставляющая функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды» ) при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами.

Ответ от Qe qe[гуру]
все что было выше верно)) ) преобразование фурье или если о компьютерном быстрое преобразование Фурье или Ганкеля, позволяет путем разложения функции в спектр пространственных частот осушествлять фильтрацию функции. . ну по принципу микшера.... если можно так сказать

Ответ от Leonid[гуру]
Вот есть у тя бабок 184687658 руб 27 коп. И надо тебе эту сумму набрать купюрами. Так вот, разложение некоторой функции в ряд Фурье (или вообще в любой ряд) сродни операции набрать требуемую сумму имеющимися купюрами. То есть получается столько-то купюр по 5000 рублей (сколько именно - это и есть "амплитуда основной гармоники"), столько-то по 1000 руб (амплитуда следующей гармоники) и т. д, пока набранная сумма не будет ТОЧНО равна указанной.

Ответ от Домонгол[гуру]
Хотя формула, задающая < преобразование > < Фурье >, имеет ясный смысл только для функций класса L_1(R), < преобразование > < Фурье > может быть определено и для более широкого класса функций, и даже обобщённых функций. Это возможно благодаря ряду свойств < преобразования > < Фурье >:
* < Преобразование > < Фурье > является линейным оператором:
widehat{(alpha f+eta g)}=alphahat{f}+etahat{g}.
* Справедливо равенство Парсеваля: если fin L_1(R)cap L_2(R), то < преобразование > < Фурье > сохраняет L2-норму:
intlimits_{-infty}^{infty}|f(x)|^2,dx=intlimits_{-infty}^{infty}|{hat f(w)}|^2,dw.
Это свойство позволяет по непрерывности распространить определение < преобразования > < Фурье > на всё пространство L_2(R). Равенство Парсеваля будет при этом справедливо для всех fin L_2(R).
* Формула обращения:
f(x)=frac{1}{sqrt{2pi}}intlimits_{-infty}^{infty}hat{f}(w)e^{ixomega},dw
справедлива, если интеграл в правой части имеет смысл. В частности, это верно, если функция f является достаточно гладкой. Если fin L_2(R), то формула также верна, поскольку равенство Парсеваля позволяет придать интегралу в правой части смысл с помощью предельного перехода.
Эта формула объясняет физический смысл < преобразования > < Фурье >: правая часть — (бесконечная) сумма гармонических колебаний eiωx с частотами ω, амплитудами frac{1}{sqrt{2pi}}|f(omega)| и фазовыми сдвигами argf(ω) соответственно.
* Теорема о свертке: если f,;gin L_1(R), тогда
widehat{(fast g)}=sqrt{2pi}widehat{f}widehat{g}, где
(fast g)(t)=intlimits_{-infty}^{infty}f(t-s)g(s),ds.
Эта формула может быть распространена и на случай обобщённых функций.
* < Преобразование > < Фурье > и дифференцирование. Если f,;f'in L_1(R), то
widehat{(f')}=iomegawidehat{f}.
Из этой формулы легко выводится формула для n-й производной:
widehat{(f^{(n)})}=(iomega)^nwidehat{f}.
Формулы верны и в случае обобщённых функций.
* < Преобразование > < Фурье > и сдвиг.
widehat{f(x-x_0)}=e^{-iomega x_0}hat{f}(w).
Эта и предыдущая формула являются частными случаями теоремы о свёртке, так как сдвиг по аргументу — это свёртка со сдвинутой дельта-функций δ(x − x0), а дифференцирование — свёртка с производной дельта-функции.
* < Преобразование > < Фурье > и растяжение.
widehat{f(ax)}=|a|^{-1}hat{f}(w/a).
* < Преобразование > < Фурье > обобщённых функций. < Преобразование > < Фурье > можно определить для широкого класса обобщённых функций. Определим вначале пространство гладких быстро убывающих функций (пространство Шварца) :
S(mathbb{R}):={varphiin C^{infty}(R):forall n,;minN;x^nf^{(m)}(x)xrightarrow{x opminfty}0}.
Ключевым свойством этого пространства является то, что это инвариантное подпространство по отношению к < преобразованию > < Фурье >.
Теперь определим его двойственное пространство S^*(R). Это некоторое подпространство в пространстве всех обобщённых функций — так называемые обобщённые функции медленного роста. Теперь для функции fin S^*(R) её < преобразованием > < Фурье > называется обобщённая функция hat{f}in S^*(R), действующая на основные функции по правилу
langlehat{f},;varphi
angle=langle f,;hat{varphi}
angle.
Например, вычислим < преобразование > < Фурье > дельта-функции:
langlehat{delta},;varphi
angle=langledelta,;hat{varphi}
angle=leftlangledelta,;frac{1}{sqrt{2pi}}intlimits_{-infty}^{infty}varphi(x)e^{-iomega x},dx
ight
angle=frac{1}{sqrt{2pi}}intlimits_{-infty}^{infty}varphi(x)cdot 1,dx=leftlanglefrac{1}{sqrt{2pi}},;varphi
ight
angle.
Таким образом, < преобразованием > < Фурье > дельта-функции является константа frac{1}{sqrt{2pi}}.

Ответ от StranikS_Scan[гуру]
Здравствуйте!
Преобразование Фурье - это алгоритм позволяющий выделять во входном сигнале, содержащем как полезный периодический сигнал, так и хаотические помехи, полезную периодическую составляющую.
Для этого сигнал оцифровывается, затем в зависимости от выбранного способ выделения периодического сигнала по точкам рассчитываются весовые коэффициенты (например, как значения синусоидальной функции или как прямоугольные импульсы, треугольные импульсы, трапециевидные импульсы) . Ну а затем по этим коэффициентам рассчитываются ортоганальные составляющие полезного периодического сигнала.
Напомню, ортоганальные состаляющие - это проекции вектора периодического сигнала на мнимую и комплексную оси. Зная их можно рассчитать амплитуду сигнала по формуле Пифагора.

Ответ от White Rabbit[гуру]
По-простому? Вот есть у тебя некий (периодический, вообще-говоря не обязательно, но с периодическим проще) процесс. То есть что-то меняется со временем, и как-то повторяется. Так вот, можно сказать, что на самом деле это десяток, или сотня, или вообще бесконечно много гармонических процессов (когда что-то меняется со временем по закону синуса) и все вместе они и дают твою зависимость от времени. А поскольку гармонический процесс характеризуется тремя числами - частотой, сдвигом фвзы и амлитудой, то получается, что этими тройками чисел (это называется - спектр, зависимость амплитуды и фазы от частоты) можно описать любую сложную зависимость от времени. Причём есть ещё связь между типами зависимости от частоты амплитуды и фазы)
Такое разложение (а математически - это просто разложение по ортогональным функциям) очень удобно, поскольку часто имеет ясный физический смысл. И все им пользуются.
Ровно то же самое можно проделать не для периодического процесса во времени, а для распределения в пространстве (например яркости на фотографии от координаты) . Тогда просто говорят о пространственных частотах.

Ответ от 3 ответа[гуру]

Ответ от 3 ответа[гуру]