Автор Александр Никитин задал вопрос в разделе Естественные науки
Помогите пожалуйста с задачей с параметром. и получил лучший ответ
Ответ от Styx[гуру]
ее применить так
СТРОИТЕ график
y1= x^3-3x
ИССЛЕДУЕТЕ ПО ПОЛНОЙ ПРОГРАММЕ
НАХОДИТЕ кр точки, интервалы возраст и убывания, экстремумы, нули функции и пр
Далее, построив график, начинаете его ПЕРЕСЕКАТЬ прямой y=a- ДВИГАЯ эту прямую ВДОЛЬ OY- ВОТ КОГДА она будет касаться или пересекать y1 в одной точке- это и будут те a, при которых уравнение будет иметь один корень.. .
Ответ от Rafael ahmetov[гуру]
Как выглядит график функции у=х^3, я думаю, представляешь. График функции у=x^3-3*x выглядит следующим образом (некое подобие дорожного знака "извилистая дорога"): график начинается где-то внизу в третьей четверти (при отрицательных значениях "х" и "у"). По мере увеличения значений "х" он сначала поднимается, затем изгибается вправо вниз, некоторое время уменьшается, затем снова изгибается вправо вверх и уходит в область положительных значений "х" и "у" в первой четверти. Таким образом, график имеет максимум и минимум. График функции у=x^3-3*x-а в зависимости от параметра "а" получается сдвигом графика функции у=x^3-3*x вверх или вниз. График пересекает ось Х в любом случае, то есть один корень есть всегда. Допустим, при значительных по модулю отрицательных значениях "а" область изгибов целиком располагается ниже оси Х (и максимум и минимум отрицательны) . Постепенно увеличивая значение "а" мы поднимем график так, что он верхним изгибом будет касаться оси Х (максимум становится равным нулю, естественно, пересечение остается) . При этом значении "а" уравнение имеет ДВА корня. При дальнейшем увеличении значения "а" график пересекает ось Х трижды (максимум положительный, минимум отрицательный) , значит имеем ТРИ корня. При дальнейшем увеличении "а" график будет касаться оси Х нижним изгибом (минимум равен нулю) , пересечение остается, имеем ДВА корня. При дальнейшем увеличении "а" и максимум и минимум имеют положительные значения, область изгибов целиком располагается выше оси Х. Имеем ОДИН корень.
Твоя задача сводится к тому, чтобы отыскать эти максимум и минимум и отобрать те значения "а", при которых либо максимум отрицательный, либо минимум положительный.
Находим производную: y'=(x^3-3*x-а) '=3*x^2-3. Приравниваем производную нулю, получаем абсциссы точек экстремумов: 3*x^2-3=0, 3*(x^2-1)=0. Получаем х (1)=-1, х (2)=1.
При х=-1 имеем максимум у (max)=(-1)^3-3*(-1)-a=2-a. При х=1 имеем минимум y(min)=1^3-3*1-a=-2-a.
Уравнение будет иметь один корень при 2-a<0, a>2 или при -2-a>0, a<-2. При а=-2 или а=2 будет два корня, а при -2<a<2>2, либо при a<-2.
Как выглядит график функции у=х^3, я думаю, представляешь. График функции у=x^3-3*x выглядит следующим образом (некое подобие дорожного знака "извилистая дорога"): график начинается где-то внизу в третьей четверти (при отрицательных значениях "х" и "у"). По мере увеличения значений "х" он сначала поднимается, затем изгибается вправо вниз, некоторое время уменьшается, затем снова изгибается вправо вверх и уходит в область положительных значений "х" и "у" в первой четверти. Таким образом, график имеет максимум и минимум. График функции у=x^3-3*x-а в зависимости от параметра "а" получается сдвигом графика функции у=x^3-3*x вверх или вниз. График пересекает ось Х в любом случае, то есть один корень есть всегда. Допустим, при значительных по модулю отрицательных значениях "а" область изгибов целиком располагается ниже оси Х (и максимум и минимум отрицательны) . Постепенно увеличивая значение "а" мы поднимем график так, что он верхним изгибом будет касаться оси Х (максимум становится равным нулю, естественно, пересечение остается) . При этом значении "а" уравнение имеет ДВА корня. При дальнейшем увеличении значения "а" график пересекает ось Х трижды (максимум положительный, минимум отрицательный) , значит имеем ТРИ корня. При дальнейшем увеличении "а" график будет касаться оси Х нижним изгибом (минимум равен нулю) , пересечение остается, имеем ДВА корня. При дальнейшем увеличении "а" и максимум и минимум имеют положительные значения, область изгибов целиком располагается выше оси Х. Имеем ОДИН корень.
Твоя задача сводится к тому, чтобы отыскать эти максимум и минимум и отобрать те значения "а", при которых либо максимум отрицательный, либо минимум положительный.
Находим производную: y'=(x^3-3*x-а) '=3*x^2-3. Приравниваем производную нулю, получаем абсциссы точек экстремумов: 3*x^2-3=0, 3*(x^2-1)=0. Получаем х (1)=-1, х (2)=1.
При х=-1 имеем максимум у (max)=(-1)^3-3*(-1)-a=2-a. При х=1 имеем минимум y(min)=1^3-3*1-a=-2-a.
Уравнение будет иметь один корень при 2-a<0, a>2 или при -2-a>0, a<-2. При а=-2 или а=2 будет два корня, а при -2<a<2>2, либо при a<-2.
Ответ от 3 ответа[гуру]
Привет! Вот подборка тем с похожими вопросами и ответами на Ваш вопрос: Помогите пожалуйста с задачей с параметром.