примеры решения неопределенных интегралов с объяснением

Ответ от Личный Кабинет Удален[гуру]
Если речь о дифференциале переменной в интегральном выражении, тогда приведу такой пример.
Значит, общий вид int[f(x)]dx
Пусть f(x)=x/(x^2+1)
Тогда int[x/(x^2+1)]dx.
dx - дифференциал, т. е. df/dx=f '(x) в предельном смысле или df=f '(x)dx
Когда проинтегрируем обе части, то интеграл от производной даст саму функцию (с точностью до константы) .
Не суть.
dx как главная часть приращения функции, производная
Например:
d(x^2)=2xdx
d(sin(x))=cosx*d(sin(x))
В нашем случае можно внести x из числителя под знак дифференциала, при этом, учитывая основные свойства дифференциала (многие совпадают со свойствами производной) :
xdx/(x^2+1)=1/2*d(x^2+1)/(x^2+1), где d(x^2+1)=2xdx, и все верно
На начальном этапе пользуюсь заменой:
u=x^2+1,
Тогда исходный интеграл тождественен 1/2*int[du/u]=1/2ln(u)+C=1/2ln(x^2+1) +С
Путем дифференцирования результата проверяем, что так оно и есть.
Т. е. фактически метод сводится к внесению некоторого выражения под знак дифференциала, в результате чего исходный интеграл становится табличным, либо приводится к нему.
Личный Кабинет Удален
Мудрец
(11141)
Ну можно и по ГИА-метрии ))