2 признак подобия треугольников доказательство
Автор Антон Шпаковский задал вопрос в разделе Домашние задания
Срочно нужно доказательство первого признака подобия треугольников! А если можно то второго и третьего! и получил лучший ответ
Ответ от Лариса Денисова[гуру]
1 признак подобия тр-ков. ДАНО: тр-к АВС и тр-кА1В1С1
уголА=углуА1
уголВ=углуВ1
ДОКАЗАТЬ: тр-к АВС подобен тр-ку А1В1С1
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
1) По теореме о сумме углов тр-ка 180градусов= уголА+уголВ+уголС
уголС=180-уголА-уголВ
уголС1=180-уголА1-уголВ1 из этих 2ух
=> уголС=углуС1
уголА=углуА1, уголВ=углуВ1 (по условию) уголС=углуС1 => в тр-ке АВС углы соответственно= углам в тр-ке А1В1С1
2) уголА=углуА1, то S (это площадь) АВС/ S А1В1С1 = АВхАС /А1В1хА1С1
уголС=углуС1, то S АВС/S А1В1С1 = АСхВС / А1С1хВ1С1 из этих двух => АВ/А1В1 хАС/А1С1= АС/А1С1хВС/В1С1 (сокращаем) =>
АВ/А1В1=ВС/В1С1
3) уголА= углуА1, то SАВС/SА1В1С1= АВхАС /А1В1хА1С1
уголВ=углуВ1, то S АВС/ SА1В1С1= АВхВС /А1В1хВ1С1 из этих 2ух
=>АВ/А1В1 х АС/А1С1= АВ/ А1В1 х ВС/ В1С1 (сокращаем) =>
АС/А1С1=ВС/В1С1
4) Из 2 и 3 следует, что АВ/А1В1=ВС/В1С1=АС/А1С1 (сходственные стороны пропорциональны)
5) уголА=А1, уголВ=углуВ1, уголС=углуС1
АВ/А1В1=ВС/В1С1=СА/С1А1 из этого =>
тр-кАВС подобен тр-ку А1В1С1 (по определению подобия тр-ков)
Что и требовалось доказать.
Фу, замучилась писать без геометрических знаков !!
2 признак подобия тр-ков. ДАНО: тр-к АВС и тр-к А1В1С1
АВ/А1В1=АС/А1С1
уголА=углуА1
ДОКАЗАТЬ: тр-к АВС подобен тр-ку А1В1С1
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
1) Дополнительное построение. тр-к АВС2, где угол1=углуА1, угол2=углуВ1 =>тр-к АВС2 подобен тр-кукА1В1С1 (по 1 ому признаку подобия тр-ков) => АВ/А1В1=АС2/А1С1
2) АВ/А1В1=АС/А1С1 (по условию)
АВ/А1В1=АС2/А1С1 (из 1) ) =>АС/А1С1=АС2/А1С1 => АС=АС2
3) АВ- общая сторона, АС=АС2, уголА=углу1 (т. к. углА=углуА1 и угол1=углуА1) =>тр-к АВС=тр-куАВС2 (подвум сторонам и углу между ними) =>уголВ=углуВ1, угол2=углуВ1 =>уголВ=углу2 =>
тр-кАВС подобен тр=куА1В1С1 . Ч. т. д.
3 признак подобия тр-ков. ДАНО: тр-к АВС и тр-кА1В1С1
АВ/А1В1 =ВС/В1С1= СА/С1А1
ДОКАЗАТЬ: тр-кАВС подобен тр-ку А1В1С1
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
1) Дополнительное построение. тр-кАВС2, где угол1=углуА1, угол2=углуВ1 =>тр-к АВС2 подобен тр-куА1В1С1 ( по первому признаку подобия тр-ков) АВ/А1В1=ВС2/В1С1=С2А/С1А1
2) АВ/А1В1=ВС/В1С1=СА/С1А1 (по условию)
АВ/А1В1=ВС2/В1С1=С2А/С1А1 (из 1) ) =>ВС=ВС2, СА=С2А
3) ВС=ВС2, СА=С2А, АВ- обшая; отсюда => тр-кАВС=тр-куАВС2 (по 3ём сторонам)
=>т. к. уголА1=углу1, тоуголА=углу1, значит уголА=углуА1 =>
тр-к АВС подобен тр-куА1В1С1. Ч. т. д.
Вот и ВСЁ !!
Источник: рисунки нарисуй сам.
Погорелов, Геометрия 7-11. в инете можно скачать, там есть доказательство
1.Если две стороны одного треугольника пропорциональны соответствующим сторонам другого треугольника, а углы между этими треугольниками равны, то такие треугольники подобны.
2.Если два угла одного треугольника равны соответствующим углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
3.Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны.
2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны.
3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сходственным сторонам другого, то треугольники подобны.