расстояние между центрами вписанной и описанной окружности

Ответ от Игорь Я[активный]
АВС - треугольник, С - прямой, N - середина гипотенузы АВ (она же центр описанной окружности), О - центр вписанной, K, L, M - точки касания ей сторон АС, ВС, АВ соответственно.
OK, OL, OM - перпендикулярны соответствующим сторонам как радиусы из точки касания.
OKCL - квадрат со стороной, равной радиусу (три угла прямые, две смежные стороны равны).
CK = CL, AK = AM, BM = BL как отрезки касательных проведенных из точки вне окружности.
радиус вписанной окружности r = (CK + CL) / 2 = (a + b - c)/2 = OM.
MN = AN - AM = с/2 - (а - r) = (b - a)/2
искомое расстояние ON находим по т Пифагора из прямоугольного треугольника OMN.

Ответ от Vercia n[гуру]
Простое решение придумать не получилось,
через координаты - как в аналитике - я не умею,
получается сложное.
пусть АВ=а, ВС=в - катеты, АС=с - гипотенуза,
r - радиус вписанной, О - ее центр, R - радиус описанной, М - ее центр.
R = с/2 для прямоугольного треугольника
r=(а+в-с) /2 для прямоугольного треугольника
В задаче надо найти ОМ - медиану треугольника АОС,
ее можно найти по трем сторонам:
ОМ=(1/2)·v(2ОА?+2ОС?-АС?)
ОС=r/sin(C/2)
sin(C/2)=(1/2)·v(1-cos C)=0,5v(1-в/с)
OA=r/sin(A/2)
sin(A/2)=(1/2)·v(1-cos A)=0,5v(1-а/с)

Ответ от Евгений Фёдоров[гуру]
Формула Эйлера
d? = R? - 2Rr
Здесь R = c/2; 2r = a + b - с.

Ответ от Вячеслав Червяков[активный]
?АВС , ?С=90° Пусть АВ=с - гипотенуза, АС = 3, ВС = 4, тогда АВ = 5 - египетский треугольник.
R = 1/2 AB = 2.5 (РАдиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника = половине гипотенузы .Пусть О -центр опис. окр.
К - центр вписанной окр. r - радиус вписанной окр.
r=(a+b-c)/2 = (3+4-5)/2 = 2/2=1 r = 1
или r = (ab)/ (a+b+c) = 3·4 / (3+4+5)= 12 / 12 = 1
Центр вписанной окружности - точка пересечения биссектрис треугольника и он равноудалён от сторон треугольника
Центр описанной окружности - точка пересечения серединных перпендикуляров и он равноудалён от вершин треугольника

Ответ от 3 ответа[гуру]