расстояние между скрещивающимися прямыми задачи с решениями

Ответ от Костя власов[гуру]
Теорема об общем перпендикуляре двух скрещивающихся прямыхфакт
Расстоянием между двумя фигурами называют расстояние между двумя ближайшими точками этих фигур. Теорема утверждает, что существует единственная пара точек и (точка на одной из скрещивающихся прямых и точка на другой) , для которых отрезок короче любого другого отрезка с концами на этих прямых и при этом отрезок перпендикулярен каждой из этих прямых.
Редактор [Редактор]
Математически верная формулировка
Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, проходящими через эти прямые.
Две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и притом только один. Он является общим перпендикуляром параллельных плоскостей, проходящих через эти прямые.
Е. В. Потоскуев, Л. И. Звавич. Геометрия 10 класс: учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики [ПотоскуевЗвавич10у]
Формулировки из учебников
А. В. Погорелов. Геометрия: Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений [Погорелов10-11]
Две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и притом только один. Он является общим перпендикуляром параллельных плоскостей, проходящих через эти прямые.
В. М. Клопский, З. А. Скопец, М. И. Ягодовский. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы [КлопскийСкопецЯгодовский9-10]
Стандартной формулировки этой теоремы нет, но в основном тексте учебника (параграф 35) решается следующая задача:
Даны скрещивающиеся прямые и . Провести прямую, пересекающую обе данные прямые и перпендикулярную каждой из них.
После решения этой задачи отмечено, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, содержащими данные прямые.
Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Л. С. Киселева, Э. Г. Позняк. Геометрия: Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений [Атанасян10-11]
Понятия общего перпендикуляра в учебнике нет. На стр. 16 есть следующая теорема:
Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.
На стр. 41 есть следующее замечание:
Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми.
А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик. Геометрия: учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений [АлександровВернерРыжик10-11]
Расстояние между скрещивающимися прямыми по определению учебника есть расстояние между ближайшими точками этих прямых. На стр. 100 доказывается, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра.
Существование и единственность общего перпендикуляра скрещивающихся прямых в учебнике не доказывается.