решение линейных уравнений методом гаусса

Ответ от М.И.С.С. (люблю Котика)[гуру]
Решим систему уравнений
2 x1 + x2 - x3 = 2
3 x1 + x2 - 2 x3 = 3
x1 + x3 = 3
Процесс решения системы уравнений методом Гаусса, состоит из двух этапов.
На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому виду, путем последовательного исключения переменных.
На втором этапе решения (обратный ход) мы будем последовательно находить переменные из получившейся ступенчатой системы.
Последовательность исключения переменных, Вы можете проследить по выделенным серыми прямоугольниками коэффициентам системы.
На каждом шаге решения справа располагается расширенная матрица, эквивалентная системе уравнений. Расширенная матрица - это просто форма записи нашей системы уравнений, и ничего более (каждая строка матрицы представляет собой уравнение системы) . Данная форма решения менее наглядная, но позволяет не переписывать каждый раз переменные, что существенно экономит время.
Прямой ход.
Запишем исходную систему.
2 x1 + x2 - x3 = 2
3 x1 + x2 - 2 x3 = 3
x1 + x3 = 3
2
1
- 1
2
3
1
- 2
3
1
0
1
3
Исключим переменную x1 из всех уравнений, за исключением первого.
Поменяем местами уравнения 1 и 3 (порядок уравнений в системе не имеет значения) .
x1 + x3 = 3
3 x1 + x2 - 2 x3 = 3
2 x1 + x2 - x3 = 2
1
0
1
3
3
1
- 2
3
2
1
- 1
2
Умножим коэффициенты уравнения 1 на -3 и прибавим получившееся уравнение к уравнению 2.
x1 + x3 = 3
x2 - 5 x3 = - 6
2 x1 + x2 - x3 = 2
1
0
1
3
0
1
- 5
- 6
2
1
- 1
2
Умножим коэффициенты уравнения 1 на -2 и прибавим получившееся уравнение к уравнению 3.
x1 + x3 = 3
x2 - 5 x3 = - 6
x2 - 3 x3 = - 4
1
0
1
3
0
1
- 5
- 6
0
1
- 3
- 4
Исключим переменную x2 из последнего уравнения.
Поменяем местами уравнения 2 и 3 (порядок уравнений в системе не имеет значения) .
x1 + x3 = 3
x2 - 3 x3 = - 4
x2 - 5 x3 = - 6
1
0
1
3
0
1
- 3
- 4
0
1
- 5
- 6
Умножим коэффициенты уравнения 2 на -1 и прибавим получившееся уравнение к уравнению 3.
x1 + x3 = 3
x2 - 3 x3 = - 4
- 2 x3 = - 2
1
0
1
3
0
1
- 3
- 4
0
0
- 2
- 2
Обратный ход.
Рассмотрим уравнение 3 последней получившейся системы:
- 2 x3 = - 2
x3 = 1
Рассмотрим уравнение 2 последней получившейся системы:
x2 - 3 x3 = - 4
Из данного уравнения, найдем значение переменной x2.
x2 = 3 x3 - 4
Подставим, ранее найденное, значение переменной x3.
x2 = 3 * 1
- 4
x2 = - 1
Рассмотрим уравнение 1 последней получившейся системы:
x1 + x3 = 3
Из данного уравнения, найдем значение переменной x1.
x1 = - x3 + 3
Подставим, ранее найденное, значение переменной x3.
x1 = - 1
+ 3
x1 = 2
Ответ :
x1 = 2
x2 = - 1
x3 = 1
Источник: Пример...