решение системы уравнений онлайн методом гаусса

Ответ от
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений - это приведение путем элементарных преобразований системы уравнений к треугольной системе. Делается это просто: выписываем матрицу системы, состоящую из коэффициентов при неизвестных и свободных членов. Далее элементарными преобразованиями делаем ее треугольной.
Элементарные преобразования - это такие преобразования матрицы, в результате которых она остается эквивалентной исходной.
Элементарные преобразования матрицы - это элементарные преобразования строк:
1. Если поменять местами две строки матрицы, она останется неизменной.
2. Если умножить любую строку матрицы на некоторый коэффициент k не меняет матрицу.
3. Прибавление к любой строке матрицы другой строки, умноженной на какой-либо коэффициент k не меняет матрицу.
Элементарные преобразования столбцов - точно такие же как и для строк.
Пример решения:
2x + y -z = 8
-3x - y + 2z = -11
-2x + y +2z = -3
Выпишем матрицу системы:
2 1 -1 8
-3 -1 2 -11
-2 1 2 -3
Теперь просмотрим на нее. Если первую строку прибавить к третьей, то в первом столбце в третьей строке получим 0:
2 1 -1 8
-3 -1 2 -11
0 2 1 5
Далее, умножим вторую строку на 2/3 и сложим с ней первую:
2 1 -1 8
0 1/3 1/3 2/3
0 2 1 5
Теперь умножим полученную вторую строку на -6 и прибавим ее к третьей:
2 1 -1 8
0 1/3 1/3 2/3
0 0 -1 1
Если теперь мы подставим в матрицу искомые неизвестные получим такую систему уравнений:
2x + y - z = 8
1/3y + 1/3z = 2/3
- z = 1
Она, очевидно, легко решается.
Вот в этих манипуляциях и заключается метод Гаусса. Добавлю, что чаще всего матрицу не выписывают, а манипуляции проводят с самой системой уравнений. Но на мой взгляд с матрицей проще - не мозолят глаза неизвестные.